Программа-минимум
по специальности 01.02.01
«Теоретическая
механика»
Программа-минимум
основана на паспорте специальности 01.02.01 –
Теоретическая механика.
Соискатель должен владеть основными
принципами построения механико-математических
моделей, знать главные исторические этапы
развития теоретической механики и вклад
отечественных ученых в этом процессе,
уметь решать задачи по механике.
1. Кинематика.
1.1 Кинематика точки. Естественный трехгранник Дарбу.
Криволинейные координаты и параметры Ламе.
1.2
Кинематика
системы отсчета (кинематика
абсолютно твердого тела). Свойства матрицы
направляющих косинусов и кватернионов.
Спиновые матрицы Паули и параметры Келли-Клейна.
Угловая скорость. Кинематические
уравнения для углов Эйлера, для матрицы
направляющих косинусов (уравнения
Пуассона) и уравнения для кватернионов.
Теорема о телесном угле в кинематике
вращательного движения.
1.3
Кинематика
относительного движения.
2. Динамика.
2.1
Геометрия
масс и динамические меры движения
механической системы. Количество
движения. Момент количеств движения (кинетический
момент). Кинетическая
энергия.
2.2
Основные
теоремы динамики.
Теоремы об изменении количества движения
и момента количеств движения. Теорема о
движении центра масс. Реактивное движение.
Уравнение Мещерского. Теорема об
изменении кинетической энергии. Основные
теоремы динамики для относительного
движения.
2.3
Специальные
задачи динамики точки. Задача двух тел и ее решение.
Классификация траекторий. Законы Кеплера
для эллиптических траекторий. Основная
задача внешней баллистики.
2.4
Классические
задачи динамики твердого тела. Случаи Эйлера, Лагранжа,
Ковалевской. Стационарные движения:
перманентные вращения и регулярная
прецессия. Гироскоп.
2.5
Лагранжева механика.
Принцип Даламбера-Лагранжа.
Конфигурационное многообразие системы с
конечным числом степеней свободы.
Обобщенные координаты. Виртуальные
перемещения. Голономные и неголономные
системы. Уравнения Лагранжа. Уравнения Лагранжа с
множителями. Уравнения Аппеля. Уравнения
Рауса для систем с циклическими
координатами. Первые интегралы уравнений
Лагранжа.
3. Устойчивость движения.
3.1
Основные
понятия теории устойчивости движения. Устойчивость по Ляпунову.
Асимптотическая устойчивость. Функции
Ляпунова. Общие теоремы второго метода
Ляпунова.
3.2
Устойчивость
линейных стационарных систем. Критерий Рауса-Гурвица.
Частотные критерии (критерии Михайлова,
Найквиста). Теоремы Ляпунова об
устойчивости по первому приближению.
Понятие о критических случаях.
3.3
Устойчивость
стационарных движений механической
системы. Теорема
Лагранжа об устойчивости положения
равновесия и ее обобщения.
Обращение теоремы Лагранжа.
Коэффициенты устойчивости Пуанкаре.
Влияние структуры сил на характер
устойчивости положения равновесия.
4. Колебания.
4.1
Колебания
линейных стационарных
систем. Спектральные
свойства линейных систем. Нормальные
координаты. Классификация линейных сил.
Теоремы Релея. Вынужденные колебания.
Амплитудно-частотные характеристики.
Резонанс.
Параметрический
резонанс в линейных системах с
переменными коэффициентами.
4.2
Колебания
нелинейных систем.
Амплитудно-частотные характеристики.
Бифуркации стационарных состояний.
Автоколебания как устойчивые предельные
циклы на фазовой плоскости. Понятие
нормальной формы Пуанкаре. Понятие о разделении движений и методах
осреднения. Метод точечных отображений.
5. Вариационные принципы механики.
5.1
Принцип
наименьшего принуждения Гаусса.
5.2
Принцип Гамильтона-Остроградского.
5.3
Принцип наименьшего
действия в формах Лагранжа и Якоби.
6. Элементы теории групп Ли.
6.1 Группы
преобразований. Операторы группы. Теорема
единственности однопараметрической
группы. Ряды Ли и Хаусдорфа.
6.2 Группы
симметрий. Канонические координаты.
Продолжение группы. Дифференциальные и
интегральные инварианты.
7. Гамильтонова механика.
7.1
Обобщенные
импульсы. Преобразования Лежандра.
Уравнения Рауса и Гамильтона. Первые
интегралы. Скобки Пуассона. Теорема
Лиувилля о фазовом объеме. Интегральные
инварианты Пуанкаре и Пуанкаре-Картана.
7.2
Канонические
преобразования. Локальный критерий
каноничности. Производящие функции. Метод
Биркгофа нормализации гамильтониана.
Уравнение Гамильтона-Якоби.
7.3
Переменные действие-угол.
Теорема Лиувилля об инвариантных торах.
8. Элементы небесной механики.
8.1
Дифференциальные
уравнения возмущенного движения в
оскулирующих элементах в задаче двух тел.
8.2
Задача
трех тел и ее первые интегралы.
Ограниченная круговая задача трех тел. Понятие о точках
либрации и их устойчивости.
8.3
Задача о движении
небесного тела вокруг его центра масс под
действием момента гравитационных сил.
9. Механика управляемых движений.
9.1
Структурный
анализ и линейный синтез управляемых
систем. Управляемость, наблюдаемость,
стабилизируемость линейных систем.
Критерии управляемости и наблюдаемости.
Управление по принципу обратной связи.
Стабилизация по первому приближению.
9.2
Оценивание
состояния линейных систем. Фильтр Калмана.
Совместная задача оценивания и управления.
9.3
Инерциальная
навигация. Методы определения
местоположения и ориентации объекта,
движущегося в поле сил притягивающего
центра. Уравнения ошибок инерциальной
навигации и их свойства.
9.4
Принцип
максимума Понтрягина. Метод
динамического программирования Беллмана.
Связь принципа максимума с методом
Беллмана.
1.
Аппель П.
Теоретическая механика. Т.1,2. М.: Физматгиз.
1960.
2.
Суслов Г.К.
Теоретическая механика. М.: Гостехиздат,1946.
3.
Четаев Н.Г.
Теоретическая механика. М.: Наука. 1987.
4.
Журавлев
В.Ф. Основы теоретической механики. М.:
Наука. 2001.
5.
Маркеев А.П.
Теоретическая механика. М.: Наука, 1999.
6.
Голубев Ю.Ф. Основы
теоретической механики. М.: Изд-во Моск. Ун-та.2000.
7.
Четаев Н.Г.
Устойчивость движения. М.: Наука.1965.
8.
Меркин Д.Р.
Введение в теорию устойчивости движения. М.:
Наука. 1971.
9.
Демидович
Б.П. Лекции по математической теории
устойчивости. М.: Физматлит. 1967.
10. Рубановский
В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость
стационарных движений в примерах и
задачах. М.: Наука. 1988.
11. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные
методы теории колебаний. М.: Наука. 1988.
12. Уиттекер Е.Т. Аналитическая
динамика. М.-Л.: ОНТИ. 1937.
13. Ланцош
К. Вариационные принципы механики. М.: Мир.
1965.
14. Александров В.В., Болтянский В.Г.,
Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М.
Оптимизация динамики управляемых систем.
Изд-во МГУ,2000.
15. Климов
Д.М. Инерециальная
навигация на море. М.: Наука. 1984.
16. Красовский Н.Н. Теория
управления движением. М., Наука. 1968.
17. Понтрягин
Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В.,
Мищенко Б.Ф. Математическая теория
оптимальных процессов. М.: Наука. 1967.
18. Ишлинский
А.Ю. Ориентация, гироскопы и инерциальная
навигация. М.: Наука. 1976.
19. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б.,
Носов В.Р. Математическая теория
конструирования систем управления. М.:
Высшая школа. 1998.
20. Парусников Н.А., Морозов В.М.,
Борзов В.И. Задача коррекции в
инерциальной навигации. М.: Изд-во
Московского ун-та. 1982.
Программа
обсуждена и одобрена на заседании
Президиума Научно-методического совета по
теоретической механике Минобразования РФ
29 ноября 2001 года.
Председатель
НМС
по
теоретической механике
МАРТЫНЕНКО Ю.Г.
Ученый
секретарь НМС
по
теоретической механике
САЛМИНА М.А.