2002-03 учебный год; БИЛЕТЫ ДЛЯ 1 ПОТОКА

 

    Переход от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона (равносильность этих уравнений в силу преобразования Лежандра); функция Гамильтона или гамильтониан лагранжевой системы - это полная энергия, в которой скорости выражены через обобщенные импульсы.
    Гамильтониан натуральной системы имеет матрицу коэффициентов, обратную к матрице коэффициентов из лагранжиана, и является суммой кинетической и потенциальной энергии.
    Примеры: гамильтониан гармонического осциллятора и задачи Кеплера.
    Операции с дифференциальными формами специального вида, порожденными функциями; ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ВАРИАЦИИ ФУНКЦИИ; неизменность вариации после взятия полной производной функции; лагранжева вариация функции.
      Идея ковариантности: правила вычисления форм и подстановки новых переменных ПЕРЕСТАНОВОЧНЫ.
    Уравнения Ньютона для системы свободных материальных материальных точек в лагранжевом представлении; элементарная работа сил.
    Идея "изначальной" кинетической энергии и элементарной работы.
    Принцип Д'Аламбера-Лагранжа для систем со связями при абстрактном определении множества виртуальных перемещений в любом состоянии, разрешенном связями.
      Векторы скорости и действительные перемещения. Общая теорема об изменении кинетической энергии и о существовании интеграла энергии. Частный случай системы точек в трехмерном пространстве со стационарными связями.
    Явный вид уравнений Лагранжа для натуральных систем.  Движение по инерции (без потенциала) происходит по геодезическим римановой метрики.
    Стандартное определение виртуальных перемещений для неголономных связей.
    Общие теоремы динамики как следствия принципа Д'Аламбера-Лагранжа.
    Дифференциальные уравнения, векторные поля и однопараметрические группы - взаимозаменимые объекты.
    Распространение действия однопараметрической группы с пространства положений на пространство состояний.
    Группа симметрий автономной лагранжевой системы; условие инвариантности лагранжиана. Интеграл Нетер.
    Теорема о существовании циклической координаты при наличии интерала Нетер.
    Момент обобщенных сил относительно векторного поля и момент обобщенных импульсов относительно него: общая теорема об изменении момента. Получение общепринятых теорем об изменении импульса и кинетического момента из этой общей теоремы.
    Два фазовых потока перестановочны тогда и только тогда, когда коммутатор порождающих векторных полей равен нулю.
    Аналитические условия интегрируемости системы дифференциальных связей (теорема Фробениуса).
    Геометрический способ доказательства неинтегрируемости системы дифференциальных связей (с примером: сани Чаплыгина) .
    Общая формула дифференцирования по параметру интеграла функции состояния при варьровании кривой.
    Функционал действия и принцип Гамильтона (принцип экстремальности действия) для лагранжевых систем.
    В каком смысле можно говорить, что уравнения Гамильтона имеют лагранжев вид?
    Принцип Гамильтона для канонических систем. Сопоставление вариаций в этом и лагранжевом случае.
    Калибровка лагранжиана. Два способа доказать, что прибавление полной производной функции положения и времени не изменяет уравнения Лагранжа.
    Два способа доказать, что подстановка замены переменных в лагранжиан приводит к равносильным уравнениям Лагранжа.
    Понижение порядка по Раусу, согласно которому у движения с заданной постоянной этого интеграла можно отбросить последнюю (циклическую) координату, после чего усеченный набор будет решением новой лагранжевой системы: эту систему порождает так называемая функция Рауса.
    Трубки тока в расширенном фазовом пространстве. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.
    Критерий каноничности замены переменных в терминах инвариантности скобки Пуассона.
    Критерий каноничности замены переменных в терминах 1-форм.
    Фазовый поток автономных гамильтоновых систем состоит из канонических преобразований (доказательство через инвариантность скобки Пуассона).   
    Сдвиг по времени вдоль решений неавтономных гамильтоновых систем состоит из канонических преобразований (доказательство с помощью инварианта Пуанкаре-Картана).   
    Сведение неавтономной гамильтоновой системы к автономной размерности на две единицы больше, но с несущественной постоянной энергии.
    Понижение порядка системы канонических уравнений на фиксированном уровне энергии (уравнения Уиттекера).
    Расположение неособого уровня энергии в фазовом пространстве полностью определяет расположение тракторий на нем.
    Случай натуральных систем со стационарными линейными связами. Интерпретация уравнений движения в терминах подвижного репера. Члены неголономности в уравнениях движения.

 

 

ВОПРОСЫ НА УСМОТРЕНИЕ ЭКЗАМЕНАТОРА, НЕ ТРЕБУЮЩИЕ ОСОБОЙ ПОДГОТОВКИ

 

    В аналитической механике основное внимание уделяется таким дифференциальным уравнениям, которые порождаются одной ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ - а именно, уравнения получаются применением к этой функции некоторого набора операций.
    Как вычисляются уравнения Лагранжа, от каких переменных зависит функция Лагранжа (лагранжиан)? Какой порядок имеют уравнения Лагранжа? Что такое невырожденность лагранжиана и для чего она требуется?
    Как вычисляются уравнения Гамильтона, от каких переменных зависит функция Гамильтона (гамильтониан)?

    Циклические координаты и соответствующие им первые интегралы в лагранжевом и гамильтоновом формализме. Интегралы импульса и кинетического момента, как пример циклических интегралов.  

    Какой вид имеет так называемый интеграл энергии, если лагранжиан или гамильтониан не зависит от времени?
    Показать на примерах, что лагранжиан - разность энергий, а интеграл энергии и гамильтониан - сумма ("натуральные системы").

    Понятие связи в аналитической механике как ограничения в пространстве положений или в пространстве состояний. ДВА РАВНОЦЕННЫХ ПОДХОДА К ЗАДАНИЮ СВЯЗЕЙ НА ПЕРЕМЕННЫЕ: (1) ограничивающие уравнения и (2) параметрические выражения. С какими оговорками и уточнениями они равносильны, в чем их различие?
    Геометрические и кинематические связи, голономные и неголономные; отличия в понимании этих понятий, вызванные возможностью интегрировать некоторые ограничения на скорости.

    Стандартное определение виртуальных перемещений для голономных связей, вывод уравнений Лагранжа второго рода. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно вторых производных по времени от обобщенных координат.

    Потенциальные и обобщенно-потециальные силы. Обобщенный потенциал. Структура обобщенно-потенциальных сил.     Уравнения Лагранжа в случае потенциальных и обобщенно-потенциальных сил, функция Лагранжа. Интеграл энергии и обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби). 
    Почему общий термин "интеграл энергии" не совсем точен?

    Линеаризация уравнений Лагранжа в малой окрестности положения равновесия. Вид общего решения линеаризованной системы. Нормальные (главные) координаты системы.  

    Выражение элементарной работы для свободного твердого тела с участием вариации угловой скорости. Применение углов Эйлера.

    Симплектическая единица. Векторная форма канонических уравнений.
    Автономные замены переменных, сохраняющие такую форму (канонические): их матрицы Якоби - симплектические. После транспонирования матрица остается симплектической. Групповые свойства канонических преобразований.
    Линейные канонические преобразования плоскости, канонические полярные координаты.

    Скобка Пуассона двух функций и ее свойства.
    Полная производная функции в силу гамильтоновой системы; автономный и неавтономный случай. Теорема Якоби-Пуассона о первых интегралах.

    Гамильтоновы векторные поля и условия их коммутируемости. Разложениe Тейлора для действия фазового потока на функцию.

    Критерий каноничности замены переменных в терминах 2-форм.

    Как определяется неавтономное каноническое преобразование?

    Первообразная и производящая функции канонического преобразования. Лемма Каратеодори (формулировка). Сохранение и преобразование функции Гамильтона при автономном и неавтономном каноническом преобразовании.

    Различные варианты уравнения Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби об интегрировании канонических уравнений.

    Отделение переменных и сложное разделение переменных. Соответствующие интегралы уравнений Гамильтона.

    Интегрирование уравнений Гамильтона в случае одной степени свободы. Гармонический осциллятор.

    Уравнения движения неголономных систем c неопределенными множителями. Уравнения в форме Маджи.

    Движение саней Чаплыгина по наклонной плоскости.

ВОПРОСЫ, АССОЦИИРУЕМЫЕ С ВЫСОКОЙ ОТМЕТКОЙ

    Интегралы в инволюции. Примеры таких интегралов. Лемма о пополнении.

    Теорема о фазовых торах (связные компактные компоненты совместных уровней независимых функций в инволюции).

    Теорема о существовании переменных "действие-угол" для систем с полным набором интегралов в инволюции; Вид общего решения гамильтоновой системы в этих переменных.

    Уравнения движения в форме Больцмана (в псевдокоординатах).

 

Hosted by uCoz