- Дана кривая в вертикальной плоскости, где
– натуральный параметр (длина дуги). Пусть –
радиус кривизны кривой в нижней точке. Доказать, что
частота малых колебаний .
- Электрический
заряд движется в постоянном электромагнитном поле,
то есть Написать обобщенный
потенциал силы Лоренца.
Показать, что для поля с траектория движения
есть винтовая линия (вообще говоря), окружность,
прямая или точка.
Описать движение качественно в случае ортогональных
введя подходящую систему
координат.
- ) Доказать, что замена
задает канонические полярные координаты; выписать
обратное пробразование;
- Доказать, что линейная замена на плоскости –
каноническая тогда и только тогда, когда определитель ее
матрицы равен единице. В частности,
- ) каноническими являются матрицы обычных
поворотов;
- ) ... а также матрицы гиперболических поворотов:
- О линейных канонических системах на :
- ) дать решение задачи Коши и нарисовать фазовые
портреты систем
с в следующих случаях:
(эллиптический тип), (промежуточный
вырожденный случай), (гиперболический
тип); особое внимание обратить на асимптотические
решения в последнем случае;
- ) собственные числа системы с
либо мнимые сопряженные, либо действительные
противоположные, либо нулевые – доказать это;
- ) доказать, что
невырожденную систему линейной
канонической заменой можно привести к виду
.
- ) найти все линейные
канонические преобразования, которые сохраняют
вид гамильтониана .
- О системах гиперболического типа: какая линейная замена
переменных приводит гамильтониан к
виду ? написать и решить соответствующие
уравнения Гамильтона.
- О системах эллиптического типа:
- ) какая линейная замена переменных
приводит гамильтониан к виду
?
- ) убедиться, что после введения канонических
полярных
координат последний гамильтониан получает вид
; написать общее решение соответствующих
уравнений Гамильтона.
- Ввести переменные "действие-угол" в линейной
канонической системе эллиптического
типа (двумя
способами).
- Бигармонический осциллятор:
. Показать, что в фазовом
пространстве непустой совместный уровень интегралов
есть, вообще говоря, тор как прямое
произведение окружностей. Какие иные уровни еще могут
получаться?
- Написать переменные "действие-угол" в предыдущей
задаче.
- Рассматривается плоская задача Кеплера
(точка единичной
массы движется в поле с потенциалом .
- ) Записать гамильтониан в полярных координатах
и получить циклический интеграл и интеграл
энергии .
- ) При каких условиях совместные уровни названных
интегралов в фазовом пространстве будет
торами?
- Описать траектории движения на плоскости с
лагранжианом
ЗАДАЧИ, ГДЕ НАДО ЗАПОМИНАТЬ ПОДХОДЫ, НО НЕ
ОТВЕТЫ
- ) По прямой движется точка единичной массы под
действием силы например, такой:
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- )
или какой-нибудь иной многочлен.
Предлагается выполнить следующее: (I) найти положения
равновесия, указать среди них устойчивые, вычислить
частоту малых колебаний около каждого устойчивого
равновесия; (II) выписать интеграл энергии; (III) нарисовать
фазовый портрет задачи; (Iv) если на портрете есть
сепаратрисы, то узнать про них следующее: чему равна
координата седловой точки; идет ли сепаратриса в
другое седло; чему равны координаты крайней левой
или крайней правой точки; каков максимальный модуль
скорости на сепаратрисе.
- ) На плоскости дано силовое поле
Например, так:
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- )
и аналогично далее, лишь бы компоненты были линейными
функциями.
Требуется (I) изобразить это поле, нарисовав силовые линии
и (II) если поле обладает потенциалом выписать
этот потенциал.
Далее, предположим, что точка единичной массы
движется, оставаясь на некоторой неподвижной кривой и
находясь под действием этого силового поля. В качестве
неподвижной кривой могут фигурировать
- ) окружность ;
- ) парабола ;
- ) гипербола
и что удобно иное.
Зафиксировав поле и кривую, предлагается выполнить
следующее: (III) найти положения равновесия, указать среди
них устойчивые, вычислить частоту малых колебаний
около каждого устойчивого равновесия; (IV) выписать
уравнение движения точки; (V) выписать интеграл энергии
(этот интеграл будет иметь место независимо от
того,
потенциально ли исходное силовое поле - и надо понимать,
почему это так); (VI) нарисовать фазовый портрет
задачи.
- Точка подвеса математического маятника колеблется вдоль
вертикали по закону Выписать лагранжиан и
уравнение движения. Выписать гамильтониан и
систему уравнений движения.
- Точка массы движется по оси будучи зажата
между двумя идеальными пружинами (сила натяжения
пружины пропорциональна ее длине с коэффициентом
жесткости). Концы пружин зафиксированы в
точках с
координатами коэффициенты жесткости пружин
равны Написать лагранжиан, уравнение Лагранжа,
найти положение равновесия и частоту колебаний.
- Получить общее решение задачи с Получить общее решение задачи с . (Это одна и та же задача. ОПЕЧАТКА:
здесь перед вторым знаком квадрата
должен стоять тангенс).
- Однородная палочка скользит концами по вертикальной и
горизонтальной прямым; угол – отклонение ее от
вертикали. Рассмотрим движение из начального состояния
покоя . После какого значения палочка отойдет от
вертикальной прямой?
- Отрезок длиной скользит концом по оси и здесь
действует сила вязкого трения а концом по оси
и здесь действует постоянная сила Пусть – угол
между отрезком и осью Написать выражение для
обобщенной силы. Написать уравнение Лагранжа.
- Твердое тело состоит из однородного диска радиуса и
невесомой штанги длины перпендикулярной плоскости
диска в его центре. Тело катится без проскальзывания по
горизонтальной плоскости так, что конец штанги остается
неподвижным на высоте от плоскости (в
сферическом шарнире).
- ) Пусть трение качения отсутствует, а реакция
опоры лежит в плоскости диска. Показать, что
при движении угол поворота штанги меняется
равномерно; вычислить реакцию плоскости.
- ) Предположим, что в шарнире действуют силы
вязкого трения с моментом чему равна
обобщенная сила
- Однородная прямоугольная пластинка массой длиной и
шириной может поворачиваться вокруг горизонтальной
продольной оси симметрии на угол относительно плоской
невесомой рамки, а эта ось в свою очередь поворачивается
(вместе с рамкой) вокруг вертикали на угол Предположим,
что рамка равномерно вращается с угловой скоростью
Найти положения относительного равновесия,
исследовать их устойчивость. Найти частоту малых
колебаний.
- В горизонтальной плоскости через начало координат
свободно проскальзывает нить длины На концах нити
находятся массы и и обе скользят по плоскости
(удобные координаты очевидны):
- ) описать движения,
при которых нить не проскальзывает через начало
координат;
- ) найти частоту
малых колебаний около стационарного движения с
циклическими постоянными
- В поле силы тяжести однородный обруч радиуса и
массой поворачивается вокруг своего центра на угол
а внутри него катается другой обруч – радиуса и
массой причем угол отклонения линии центров от
вертикали обозначен Объяснить, почему эта частота
малых колебаний около не зависит от постоянной
циклического интеграла.
- Эллиптический маятник. Математический маятник массы
и длины подвешен к точечной массе скользящей по
горизонтальной оси Выписать интегралы движения.
Доказать, что при движении из состояния покоя масса
описывает дугу эллипса.
- Однородный диск массы и радиуса подвешен ("к
потолку") в вертикальной плоскости на намотанную на
него невесомую и нерастяжимую нить. Обозначим
угол отклонения нити от вертикали вниз, длину
смотавшейся нити. Показать, что уравнения Лагранжа
допускают частное решение, при котором нить остается
вертикальной.
- Пусть двойной маятник состоит из двух одинаковых
стержней массы и длины Получить частоты малых
колебаний и векторы осей нормальных координат.
- Массы и движутся по горизонтальной оси, зажатые
между тремя одинаковыми пружинами с жесткостью
Концы внешних пружин закреплены. Доказать, что
отношение меньшей собственной частоты к большей
удовлетворяет неравенству
- Положим, например .
Вычислить скобку Пуассона в точке
- Из канонических переменных для точки в
трехмерном
пространстве являются составим векторы и
. Обозначим также .
СОГЛАШЕНИЕ. Формулы для трехмерного пространства
часто выдерживают круговую перестановку символов:
. Например, из получается
сначала и затем . В таких
обстоятельствах мы будем писать так: .
- )
(базисные скобки);
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) (со всеми предыдущими –
фундаментальные скобки);
- ) ( – постоянные
векторы);
- ) ;
- Положим и
. Найти
- )
- )
- )
- )
- )
- Положим .
Показать, что
- )
- )
- Описать фазовые потоки c гамильтонианами .
Все это – линейные системы. В каких сразу разделяются
переменные?
- Пусть точка единичной массы движется по цилиндру
под действием упругого притяжения к началу
координат: . Перейти к цилиндрической системе
координат и доказать (наглядно), что непустые совместные
уровни интералов энергии и циклического в фазовом
пространстве
являются, вообще говоря, двумерными
торами.
- Угадать переменные "действие-угол" в предыдущей
задаче.
- Рассмотрим задачу с гамильтонианом :
- ) решить ее как линейную;
- ) решить, усмотрев отделение переменных.
- В нижеследующих задачах (даются гамильтонианы)
выписать первые интегралы, увидев отделение переменных,
простое разделение или комбинацию этих идей.
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) .
- В нижеследующих задачах даны лагранжианы. Требуется
получить гамильтонианы и затем указать путь полного
интегрирования:
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- ) ;
- Вводятся новые канонические переменные линейными
формулами
Доказать, что
- ) первообразная ;
- ) производящая
- Вводятся канонические полярные координаты (3).
Показать, что
- ) первообразная
- ) производящая
- Задают ли смешанные формулы ,
каноническое преобразование?
- Для следующих преобразований найти производящую
функцию :
- )
- ) (
- ) ( );
- )
- )
- ) (
- )