тренировочные задания
(лектор использовал  - и изменил в соответствии со своими соображениями -  некоторые материалы Д.В.Трещева.)

1. Точка движется в плоскости. В некоторый момент времени компоненты ее скорости и ускорения равны   (1,2)  и  (3,2)  соответственно.
Чему равна  кривизна траектории?
2. Скорости точек твердого тела  A,B,C  равны соответственно (1,2,3),  (1,3,4),  (2,2,4).
Какие векторы могут могут быть угловой скоростью тела?
3. Два самолета движутся равномерно и прямолинейно. В момент t=0 расстояние между ними минимально и равно 2 км. В момент t=1 расстояние равно 3 км.
Найти расстояние между ними при t=2.
4. Круг катится в плоскости по прямой без проскальзывания. Пусть G и L -- множества точек круга, у которых модуль скорости соответственно больше и меньше модуля скорости центра.
Сравнить площадь G и площадь L.
5. Дано силовое поле  F = (y sin z, x sin z, xy cos z). Его потенциальная энергия в точке (1,1,2)  равна  2.
Найти  потенциальную энергию в точке (3,3,2).
6. В вертикальной полой окружности радиуса 1 движется точка массы 5. Ускорение силы тяжести равно 9.  В нижней точке окружности точка имеет скорость 6.
Описать последующее движение точки.
7. Точка массы 3 движется по горизонтальной прямой под действием силы вязкого трения с коэффициентом 2 и имеет начальную скорость 4. Пройдет ли она расстояние 13?
8.  В каких из следующих случаев кинетический момент твердого тела, имеющего неподвижную точку A, параллелен угловой скорости?
а) угловая скорость параллельна главной оси  инерции в точке A;
б) тело имеет ровно три различные оси симметрии, проходящие через A;
в) тело -- плоское и точка A лежит в его плоскости;
г) все главные центральные моменты инерции равны.
9. Твердое тело движется в поле сил тяжести. Укажите, какие из следующих утверждений
справедливы:
а) охраняется импульс тела;
б) cохраняется кинетический момент тела относительно любой неподвижной точки;
в) cохраняется кинетический момент тела в осях Кенига;
г) cохраняется кинетическая энергия тела.

                              11.01

      1. Однородный прямоугольник массы 1 и размерами 9*12  вращается вокруг своей диагонали с угловой скоростью 5.
           А. Чему равен кинетический момент относительно центра прямоугольника? 
           Б. Чему равны динамические реакции в концах диагонали?

       2. Назовем вертикалью кривую, касательные к которой в каждой точке коллинеарны силе тяжести.
           А. В каких местах прямая, перпендикулярная к поверхности Земли, является вертикалью?
           Б. Куда отклоняется вертикаль от этой прямой в северном полушарии?

       3. Диск радиуса 1 и массы 2 катится без проскальзывания по прямой со скоростью центра 3.
           А. Чему равен импульс диска?
           Б. Чему равен кинетический момент диска относительно точки на прямой?
           В. Чему равна кинетическая энергия диска?           

                              18.01

      1. В задаче Кеплера точка (массы 1) движется по окружности радиуса 2 со скоростью 2. Внезапно величина скорости изменилась до 1.
           А. Чему равна большая полуось новой орбиты?
           Б. Насколько близко планета может подлететь к притягивающему центру?
           В. Чему равен эксцентриситет орбиты? 

       2. Однородный квадрат в невесомости закручен вокруг центра: стало быть,  угловая скорость - это вектор, не правда ли? - имеет некоторое начальное значение. Как должна быть расположена начальная угловая скорость относительно квадрата, чтобы в дальнейшем угловая скорость не изменялась?

       3. По стенкам прямоугольного желоба катится однородная сфера радиуса 1 и массы 2 со скоростью центра 3.
           А. Чему равна угловая скорость сферы (по величине)?
           Б. Чему равен импульс сферы?
           В. Чему равна кинетическая энергия сферы?

                              29.01

         1. Дан однородный обруч с перпендикулярными диаметрами OP  и KL длины 2. Вектор OP поворачивается в плоскости Oxy на угол 2t (с осью абсцисс), а вектор KL составляет с плоскостью угол t.  Масса обруча 1. Выбирая удобные реперы, написать, чему равны
           А)  угловая скорость обруча;
           Б)  кинетический момент обруча  относительно точки O;
           В) кинетическая энергия обруча;
           Г) момент сил, обеспечивающий заданное  движение.

        2. Положим  A=B  в случае Эйлера. Нарисуйте фазовый портрет на уровне энергии уравнений Эйлера-Пуассона.

        3. Найти скорость кругового движения точки массы 3 в центральном поле с потенциалом   V=-1/r²  на расстоянии 4.

       Первоначальный вариант задачи 1. Дан однородный обруч с перпендикулярными диаметрами OP  и KL длины 2. Вектор OP поворачивается в плоскости Oxy на угол 2t (с осью абсцисс), а вектор KL составляет с плоскостью угол t.  Масса обруча 1. Выбирая удобные реперы, написать, чему равны
           А)  угловая скорость обруча;
           Б)  скорость точки L;
           В)  импульс обруча;
           Г)  кинетический момент обруча относительно точки O;
           Д) кинетическая энергия обруча;
           Е) момент сил, обеспечивающий заданное  движение.

                            07.02

          1. Дан однородный прямоугольник ширины 1, длины 2, массы 3. Его большая средняя линия AOB поворачивается за время t в плоскости Oxy на угол 4t (с осью абсцисс), а меньшая COD  отклоняется от оси Oz на угол 5t.  Вычислить момент сил  G_O, обеспечивающий заданное  движение.

          2. Доказать, что среди траекторий точки  m  в центральном поле с потенциалом   V=-K/r⁴  есть окружности, проходящие через притягивающий центр (за вычетом его самого, конечно).

          3. Рассмотрим задачу двух тел, считая гравитационную постоянную равной 100. В начальное мгновение  масса 3 находится в точке (3,0) и имеет скорость (±3,0),  масса 4 находится в точке (0,4) и имеет скорость (0,±4). Описать последующее движение в обоих случаях (знаки ± согласованы).

                                                    14.02

         1. Дан однородный прямоугольник ширины 3, длины 6, массы 1. Его большая средняя линия AOB поворачивается в плоскости Oxy на угол 12t  (с осью абсцисс), а меньшая COD  составляет с осью Oz угол 15t.  Вычислить момент сил  G_O, обеспечивающий заданное  движение.

           2. Применяя общие теоремы динамики, получить первые интегралы движения трех масс под действием взаимного гравитационного притяжения.

           3. В  центральном поле с потенциалом    V=-1/r^{2999999/2007214}  точка массы 1 движется по окружности радиуса  r = 1  со скоростью u.  Выразить через u  скорость  v  движения массы 7  в центральном поле с потенциалом   V=-5/r^{2999999/2007214}  по окружности радиуса r = 9.

                                                   21.02

       1. Однородный прямоугольник массы 1 и размерами 3*4  вращается вокруг своей диагонали с угловой скоростью 7.
           А. Чему равен кинетический момент относительно вершины? 
           Б. Чему равна динамическая реакция в противоположном конце диагонали?

       2. В задаче Кеплера точка массы 1 движется по окружности радиуса 1 со скоростью 1. Внезапно величина скорости изменилась до 2.
           Чему равен эксцентриситет новой орбиты?           

                                                    28.02

       1. Однородный прямоугольник массы 1 и размерами 13*14  вращается вокруг своей диагонали с угловой скоростью 17.
           А. Чему равен кинетический момент относительно вершины? 
           Б. Чему равна динамическая реакция в противоположном конце диагонали?

       2. В задаче Кеплера точка массы 1 движется по окружности радиуса 1 со скоростью 1. Внезапно величина скорости изменилась до 1/2.
           Чему равен эксцентриситет новой орбиты?