Программа экзамена по
классической механике
на 1 потоке отделения математики в седьмом
семестре 2006/07 учебного года
- Размерности
основных физических величин и констант. П-теорема
и ее применение для сокращения выкладок.
- Элементарные
представления о пространстве, времени,
системе отсчета.
Задание движения точки в
декартовой "неподвижной" системе
координат. Векторы скорости и ускорения
точки и их проекции на оси. Траектория
точки. Базовая мысль: УРАВНЕНИЕ НЬЮТОНА
для точки выписывается в системе отсчета,
которую с принятой степенью точности
можно считать инерциальной, что вектор
силы есть МОДЕЛЬ суммы воздействий на
точку со стороны других объектов;
сравнение вычислений с наблюдениями -
основа для оценки модели и ее уточнения.
Компоненты скорости в цилиндрической и
сферической системе координат,
идея линейности скрости по производным
координат.
Переход от векторного уравнения Ньютона к
системам дифференциальных уравнений в
декартовых и полярных (цилиндрических)
координатах.
Определение
твердого тела. Задание движения тела (в
котором есть три точки, не лежащие на одной
прямой) при помощи репера, жестко с ним
связанного; условие гладкости движения. Теорема: при
движении тела в каждый момент времени
существует и единствен вектор угловой
скорости такой, что скорости для любых
двух точек тела связаны ФОРМУЛОЙ ЭЙЛЕРА,
задающей тем самым поле (распределение)
скоростей в твердом теле. Явное выражение
для угловой скорости. При вращении вокруг
неподвижной оси вектор угловой скорости
равен единичному вектору оси вращения,
умноженному на скорость изменения угла
поворота. Уравнения Пуассона. Угловая
скорость в углах Эйлера, идея
линейности ее выражения по производным
углов.
Работа силы на
перемещении. Элементарная работа силы.
Потенциальная энергия. Условия
существования интеграла энергии. Условия
существования интеграла импульса в
проекции на одну их осей координат.
Выражение проекции кинетического момента
в декартовой и цилиндрической системах
координат.
Сила Лоренца,
размерности участвующих величин. Основные
эффекты движения заряда в постоянном
магнитном поле (покой, движение по
окружности, по прямой и в общем случае по
винтовой линии). Исследование движения
заряда в постоянном электромагнитном поле,
когда векторы напряженности
электрического поля и индукции магнитного
поля постоянны.
Система уравнений
Ньютона для нескольких материальных точек.
Возможность появления неизвестных
величин в выражениях сил и пополнение
системы уравнений движения уравнениями
связей. Основной способ и простейшие
примеры задания сил, выражающих
воздействие связей и наглядный смысл этих
сил: движение точки по поверхности и
условие постоянности расстояния между
двумя точками. Теоремы об изменении
импульса, кинетического момента и
кинетической энергии для системы
материальных точек. Деление сил на внешние
и внутренние; соответствующие
переформулировки теорем об изменении
импульса (о движении центра масс), об
изменении кинетического момента и
кинетической энергии. Объяснение того, что
неизменность формы твердого тела
обеспечивается внутренними силами, причем
в этом случае на изменение кинетической
энергии они не влияют.
УРАВНЕНИЕ НЬЮТОНА при движении по
прямой. Фазовая плоскость. Разложение
решения по формуле Тейлора и основные
свойства фазовых кривых. Автономные
задачи. Состояния равновесия. Необходимое
и достаточное условие существования
интеграла энергии для одномерного
уравнения Ньютона. Устройство
фазовых портретов консервативных задач (области
возможности движения, симметрия фазовых
траекторий, центры и седла соответствуют
минимумам и максимумам потенциальной
энергии; периодические решения,
сепаратрисы).
Линейные задачи
динамики точки на прямой и их фазовые
портреты (центры, фокусы, узлы, седла).
Гармонические и затухающие колебания.
Техника
интегрирования в квадратурах и ее
применение в простейших случаях. Теорема о приведении
потенциальной энергии к степенной функции.
Промежуточная фазовая плоскость и общие
соображения о локальном поведении фазовых
кривых.
Общая
формула для периода колебаний в
потенциальной яме. Формула Линдштедта для
колебаний с малой энергией.
Основные эффекты
при возбуждении гармонического
осциллятора при возбуждении
периодической силой: биения, раскачка;
предельный переход в решении задачи Коши
при стремлении вынуждающей частоты к
собственной.
Основные эффекты
при возбуждении осциллятора с вязким
трением периодической силой: вынужденные
колебания как предел всех движений,
амплитудно-частотная характеристика. Явление параметрического
резонанса (возможность неограниченного
увеличения амплитуды при сколь угодно
малом периодическом изменении
коэффициента жесткости гармонического
осциллятора).
Нормальная
реакция при идеальной связи; вязкое и
сухое трение: методики решения уравнений
движения в той и другой модели. Простейшие
явления, связанные с сухим трением.
Выражения для
импульса, кинетического момента и
кинетической энергии материальной точки.
Теоремы об изменении импульса,
кинетического момента и кинетической
энергии. Работа силы на перемещении.
Элементарная работа силы. Потенциальная
энергия. Условия существования
интеграла энергии. Условия существования
интеграла импульса в проекции на одну их
осей координат. Выражение проекции
кинетического момента в декартовой и
цилиндрической системах координат.
Сила гравитации
между двумя материальными точками,
размерности участвующих величин. Сведение
задачи двух тел к задаче Кеплера. Интеграл
кинетического момента и плоскость Лапласа.
Условие существования интеграла площадей
и объяснение смысла этого термина.
Выражение интегралов момента и энергии в
полярной системе координат для движения
точки в центральном поле сил. Вывод
уравнения траекторий для движения в
центральном поле сил (переход к полярному
углу как новой независимой переменной,
преобразование интеграла энергии).
Аналогия между задачей Кеплера и
гармоническим осциллятором. Вывод
уравнения орбиты и связь ее параметров с
постоянными интегралов; зависимость формы
орбиты от энергии. Большая полуось
эллиптической орбиты. Три закона Кеплера.
Подвижные реперы
и системы координат. Формула, связывающую
абсолютную и относительную производные
вектора. Формула сложения скоростей.
Формула сложения ускорений. Формула
Ривальса для поля ускорений в твердом теле.
Формула сложения угловых скоростей.
Поступательное, вращательное (вокруг
неподвижной оси) и плоскопараллельное
движения тела. Мгновенный центр скоростей.
Алгебраическая
кривизна плоской кривой. Уравнения
движения в плоскости в проекциях на
естественные оси (репер Френе). Модели
идеальной связи, вязкого трения и сухого
трения; методика решения уравнений
движения и вычисления реакции опоры во
всех случаях. Лемма о
скорости точки жесткой кривой в месте
соприкосновения с неподвижной точкой.
Лемма о разности скоростей в месте
соприкосновения проскальзывающих кривых.
Натуральные параметры кривых при качении
без проскальзывания. Центроиды.
Произвольное плоское движение как качение
центроиды по центроиде.
Преобразование системы
уравнений Ньютона при переходе в
равномерно вращающуюся систему отсчета.
Силы инерции переносная и кориолисова.
Модификация теоремы об изменении
кинетической энергии. Два слагаемых в силе
тяжести на Земле. Падение с учетом силы
кориолисовой силы инерции.
Общие формулы Кенига для
линейных и билинейных динамических
функций. Формулы Кенига для динамических
функций системы точек:
радиус-вектор центра масс,
импульс (количество движения),
кинетический момент,
кинетическая энергия,
вириал, полный момент инерции,
момент инерции относительно оси,
энергия ускорений.
Импульс, кинетический
момент и кинетическая энергия твердого
тела, выраженные через проекции угловой
скорости в главных центральных осях и
через главные центральные моменты инерции
твердого тела. Аналогичные формулы для
тела с неподвижной точкой. Кинетический
момент как градиент кинетической энергии.
Эллипсоид инерции. Неравенства
треугольника. Условие, когда тело плоское.
Применение свойств симметрии при
нахождении главных плоскостей и осей.
Теоремы об изменении
импульса,
кинетического момента
и кинетической энергии
в абсолютном движении
и относительно осей Кенига.
Законы сохранения как следствия общих
теорем.
Уравнения движения
твердого тела. Понятие эквивалентности
систем сил, действующих на твердое тело.
Приведение системы сил к точке. Приведение
сил тяжести к центру масс тела. Уравнения
Эйлера в динамике твердого тела. Твердое тело с
неподвижной точкой: постановка задачи и
уравнения движения.
Вращение твердого тела по
инерции (случай Эйлера). Геометрическая
интерпретация Пуансо. Фазовый портрет на поверхности
энергии.
Вращение
твердого тела вокруг неподвижной оси. Ее
направляющие косинусы в главном репере
для неподвижной точки и угол между
кинетическим моментом и осью вращения.
Определение реакций при вращении вокруг
неподвижной оси. Статические и
динамические реакции.
Движение твердого тела по
поверхности. Модели идеально гладкой и
идеально шероховатой поверхностей.
Движение однородного шара по абсолютно
шероховатой плоскости. Модель сухого
трения скольжения. Движение однородного
шара по плоскости с сухим трением.
НАЗАД НАЗАД НАЗАД НАЗАД НАЗАД
НАЗАД НАЗАД НАЗАД