2006-07 учебный год; ВОПРОСЫ В БИЛЕТЫ
ДЛЯ 1 ПОТОКА 4 КУРСА 
 

Билет будет иметь вид
 А.
 Б.
 В. Сформулировать (или доказать) теорему, утверждение, результат из программы по указанию экзаменатора.

    А. Гамильтониан натуральной системы (имеет матрицу коэффициентов, обратную к матрице коэффициентов из лагранжиана, и является суммой кинетической и потенциальной энергии).
    Б. Равносильность уравнений Лагранжа и Гамильтона для натуральных систем (малая теорема)
    А. Гамильтониан гармонического осциллятора.
    А. Гамильтониан задачи Кеплера.
    А. Преобразование Лежандра.
    Б. Пример нелинейного преобразования Лежандра.
    Б. Линейное (многомерное) преобразование Лежандра.
    Б. Переход от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона в общем виде (большая теорема о равносильности этих уравнений; функция Гамильтона или гамильтониан лагранжевой системы - это полная энергия, в которой скорости выражены через обобщенные импульсы).
        А. Циклические координаты и соответствующие им первые интегралы в лагранжевом и гамильтоновом формализме.
    А. Интегралы импульса и кинетического момента - простые примеры циклических интегралов.
    А. Явный вид циклического интеграла для натуральной лагранжевой системы. 
    А. Так называемый интеграл энергии существует, если лагранжиан или гамильтониан не зависит от времени. 
    А. Явный вид интеграла энергии для натуральной лагранжевой системы.
    А. Тот же вид после добавления линейных слагаемых в лагранжниан. 
    Б. Функционал действия и принцип Гамильтона (принцип экстремальности действия) для лагранжевых систем.
    В. Операции с дифференциальными формами специального вида, порожденными функциями; изохронный дифференциал функции координат и времени, ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ВАРИАЦИИ ФУНКЦИИ; неизменность вариации после взятия полной производной функции (правило сокращения точек); лагранжева вариация функции.
    А. Ковариантность уравнений Лагранжа.
(есть два способа доказать, что подстановка замены переменных в лагранжиан приводит к равносильным уравнениям Лагранжа прямой и из вариационного принципа).
    А. Калибровка лагранжиана
    (есть два способа доказать, что прибавление полной производной функции положения и времени не изменяет уравнения Лагранжа - прямой и из вариационного принципа).
    А. В каком смысле можно говорить, что уравнения Гамильтона имеют лагранжев вид?   
    А. Критерий каноничности замены переменных в терминах 1-форм.  
    А. Ковариантность уравнений Гамильтона.
    В. Ковариантность уравнений Аппеля.       
    А. Идея искусственного введения малого параметра.
    А. Линеаризация уравнений Лагранжа в малой окрестности положения равновесия.
    А. Нормальные (главные) координаты системы.  
    А. Устойчивость линеаризованной лагранжевой системы. Малые колебания.
    А. Уравнения Ньютона для системы свободных материальных материальных точек в лагранжевом представлении.
    Б. Сведение движения системы к движению точки единичной массы в подходящем пространстве.  
    А. Принуждение по Гауссу.  Энергия ускорений.   
    А. Элементарная работа системы точек. Функция ускорений, порождающая силы.  
        А. Энергия ускорений для твердого тела.
    А. Формула элементарной работы для твердого тела.
    Б. Обобщенные силы в углах Эйлера.
    Б. Обобщенно-потенциальные силы. Обобщенный потенциал, линейные слагаемые в лагранжиане
    Б. Структура  обобщенно-потенциальных сил (кососимметрическая матрица, примененная к ветору скоростей).
    Б. Обобщенный потенциал для силы Лоренца в постоянном магнитном поле.
    А. Аксиома идеальных связей для систем с геометрическими связями.
    Б. Аксиома идеальных связей для систем с кинематическими связями. 
    А. Элементарная работа сил реакции. Физический смысл принимаемых определений. 
    А. Моделирование воздействия опоры на тело: трение скольжения и трение качения.
    А. Диск на наклонной плоскости при наличии трения качения.  
    Б. Принцип д'Аламбера-Лагранжа для систем со связями при абстрактном определении множества виртуальных перемещений в любом состоянии, разрешенном связями.
    Б. Связь уравнений Гаусса-Аппеля с общей лагражевой формой уравнений (для систем с геометрическими свзями).
    Б. Уравнения движения с неопределенными множителями Лагранжа.
    А. Явный вид уравнений Аппеля относительно ускорений.
    Б. Явный вид уравнений Лагранжа для натуральных систем. 
    Б. Движение по инерции (без потенциала) происходит по геодезическим римановой метрики.
    А. Стандартное определение виртуальных перемещений (скоростей) для общего вида связей. Обозначения Четаева.
    А. Виртуальные скорости как вариации координат геометрических связей. Примеры.
    А. Виртуальные скорости как разность разрешенных скоростей для линейных связей.
    А. Векторы скорости и действительные перемещения.
    А. Общая теорема об изменении кинетической энергии и о существовании интеграла энергии. Частный случай системы точек в трехмерном пространстве со стационарными связями.    
    Б. Дифференциальные уравнения, векторные поля и однопараметрические группы - взаимозаменимые объекты.
    Б. Распространение действия однопараметрической группы с пространства положений на пространство состояний.
    Б. Группа симметрий автономной лагранжевой системы; условие инвариантности лагранжиана. Интеграл Нетер.
    В*. Теорема о существовании циклической координаты при наличии интерала Нетер (контртеорема).
    Б. Момент обобщенных сил относительно векторного поля и момент обобщенных импульсов относительно него: общая теорема об изменении момента.
    Б. Получение общепринятых теорем об изменении импульса и кинетического момента (одной из).
    А. Симплектическая единица. Векторная форма канонических уравнений.
    А. Автономные замены переменных, сохраняющие такую форму (канонические): их матрицы Якоби - симплектические.
    Б. Описать линейные канонические преобразования плоскости.
    Б. Канонические полярные координаты.  
    Б. После транспонирования матрица остается симплектической.
    А. Варианты записи скобки Пуассона двух функций.
    Б. Свойства скобок Пуассона.
    А. Полная производная функции в силу гамильтоновой системы и скобка Пуассона.
    Б. Теорема Пуассона о первых интегралах.
    Б. Гамильтоновы векторные поля, их скобка Ли.
    А. Линеаризация автономных гамильтоновых систем. 
    А. Векторный вид линейных гамильтоновых систем.
    Б. Вещественность и четность характеристического многочлена линейной гамильтоновой системы.
    Б. Две симметрии в расположении собственных чисел линейной гамильтоновой системы.
    Б. Понижение порядка по Раусу (согласно которому у движения с заданной постоянной этого интеграла можно отбросить последнюю (циклическую) координату, после чего усеченный набор будет решением новой лагранжевой системы: эту систему порождает так называемая функция Рауса).
    Б. Гамильтониан волчка Лагранжа.  
    Б. Интегралы в инволюции волчка Лагранжа.
     Б. Функция Рауса волчка Лагранжа. Появление линейных по скоростям слагаемых.
    Б. Варианты типичного поведения оси симметрии волчка Лагранжа.   
     А. Сведение неавтономной гамильтоновой системы к автономной размерности на две единицы больше, но с несущественной постоянной энергии.
    Б. Понижение порядка системы канонических уравнений на фиксированном уровне энергии (уравнения Уиттекера).
    Б. Расположение неособого уровня энергии в фазовом пространстве полностью определяет расположение тракторий на нем.  
    А. Производящая функции канонического преобразования. 
    А. Различные варианты уравнения Гамильтона-Якоби.
    А. Теорема Якоби об интегрировании канонических уравнений. 
    А. Интегралы в инволюции. Примеры таких интегралов.
    Б. Лемма о пополнении.
    Б. Теорема о фазовых торах (связные компактные компоненты совместных уровней независимых функций в инволюции - без доказательства).
    Б. Теорема о существовании переменных "действие-угол" для систем с полным набором интегралов в инволюции (без доказательства); вид общего решения гамильтоновой системы в этих переменных.  
       А. Лемма о каноническом преобразовании, осредняющем слагаемое второго порядка малости в гамильтониане.
    Б. Поправка к частоте малых колебаний математического маятника.
Hosted by uCoz