(о времени последнего поступления узнайте в окне)
ЛИТЕРАТУРА:
Во многих учебниках и программах изложение предмета идет по накатанной колее: по мнению лектора, содержание предмета отражено верно, но неравномерно. Последнее означает, что некоторые существенные и понятные профессионалам идеи проходят скороговоркой или даже не произносятся вслух. Поэтому некоторые словесные обороты, акценты, логические ходы и доказательства только из лекций и можно извлечь. Ссылки в правом столбце весь объем лекций не покрывают.
Вслед за физиками лектор придает важное значение идее ковариантности. В книгах Гантмахера и Маркеева несколько более общо, нежели в остальных, трактуется понятие канонического преобразования. В этой общности есть свое удобство, однако теряется как раз ковариантность для автономных гамильтоновых систем и возникает дополнительное (и ненужное, по мнению автора) понятие валентности преобразования. Студент вправе соглашаться с кем угодно, при условии, что действительно понимает происходящее.
| "изучать в первую очередь" | ПОЛЕЗНЫЕ ССЫЛКИ |
| "изучать во вторую очередь" |
| В аналитической механике основное внимание уделяется таким дифференциальным уравнениям, которые порождаются одной ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ - а именно, уравнения получаются применением к этой функции некоторого набора операций. Важнейшие классы - уравнения в форме Лагранжа и форме Гамильтона (канонической форме). Уже на простых примерах видно, что лагранжиан - разность энергий, а интеграл энергии и гамильтониан - сумма ("натуральные системы"). | [Г] § 11, §12
; [M] пп. 138, 149 ; [Т] §15, §16 [3a] §1 |
|
Циклические координаты и
соответствующие им первые интегралы в лагранжевом и гамильтоновом
формализме.
Явный вид циклического интеграла для натуральной
лагранжевой системы. Интегралы
импульса и кинетического момента - простые примеры циклических
интегралов.
Так называемый интеграл энергии существует, если лагранжиан или гамильтониан не зависит от времени. Явный вид интеграла энергии для натуральной лагранжевой системы. Тот же вид после добавления линейных слагаемых в лагранжниан. |
[Г] §6, §12, §14; [M] пп. 142,151,164,165; [Т] тема 11; §15 , конец темы 13 |
| Явный вид
уравнений Лагранжа для натуральных
систем. Переход от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона (равносильность этих уравнений) для натуральных систем и вообще в силу преобразования Лежандра. Гамильтониан натуральной системы имеет матрицу коэффициентов, обратную к матрице коэффициентов из лагранжиана, и является суммой кинетической и потенциальной энергии. Невырожденность лагранжиана гарантирует, что уравнения Лагранжа можно разрешить относительно вторых производных по времени от обобщенных координат. Вообще же функция Гамильтона или гамильтониан лагранжевой системы - это полная энергия, в которой скорости выражены через обобщенные импульсы. |
[Г] §§12,6,7; [M] пп. 148-151; [Т] §16; тема 17 |
| Операции с дифференциальными формами специального вида, порожденными функциями; ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ВАРИАЦИИ ФУНКЦИИ; неизменность вариации после взятия полной производной функции; лагранжева вариация функции. | |
|
Калибровка лагранжиана (прибавление
полной производной функции положения и
времени не изменяет уравнения Лагранжа). Идея ковариантности: при замене переменных достаточно преобразовывать характеристическую функцию, а не сами уравнения движения; правила вычисления форм и подстановки новых переменных ПЕРЕСТАНОВОЧНЫ. Уравнения Гамильтона имеют лагранжев вид (идея "сверхлагранжиана"). Автономные канонические преобразования сохраняют гамильтониан, а сверхлагранжиан изменяется прибавлением полной производной: отсюда условие каноничности в терминах 1-форм. |
[3a] §1, §6 Некоторые детали отсутствуют или не высвечены в стандартных учебниках [Г] § 1 |
|
Уравнения Ньютона для системы
свободных материальных материальных
точек в лагранжевом представлении;
элементарная работа сил. Потенциальные силы. Выражение элементарной работы для свободного твердого тела с участием вариации угловой скорости. Применение углов Эйлера. | [Г] §5 ; [3a] §5, §8; |
|
Понятие связи в аналитической механике
как ограничения в пространстве
положений или в пространстве состояний.
ДВА РАВНОЦЕННЫХ ПОДХОДА К ЗАДАНИЮ
СВЯЗЕЙ НА ПЕРЕМЕННЫЕ: (1) ограничивающие
уравнения и (2) параметрические
выражения. Геометрические и кинематические связи, голономные и неголономные, лагранжевы координаты и псевдоскорости. |
[Г] §§ 1 [М] пп. 10,11 [3a] §1 |
| Модель
идеальных связей, варианты аксиоматики,
физический смысл принимаемых
определений. Стандартное определение
виртуальных перемещений (виртуальных
скоростей) для голономных и
неголономных связей; переформулировки этого
понятия в случае геометрических и в случае линейных кинематичесих связей, связь принципа
д'Аламбера-Лагранжа
и уравнений Гаусса-Аппеля с общей
лагражевой формой уравнений движения. Общие теоремы динамики как следствия принципа д'Аламбера-Лагранжа. |
[Г] §§ 2,3,4; (в
этой книге нет общих теорем) [M] пп. 12-16, 56,57; [3a] §§8, 10, 11 ; общепринятые формулировки см. в также в [Б] |
| Понижение порядка по Раусу, согласно которому у движения с заданной постоянной этого интеграла можно отбросить последнюю (циклическую) координату, после чего усеченный набор будет решением новой лагранжевой системы: эту систему порождает так называемая функция Рауса. Примеры. Появление линейных по скоростям слагаемых. | [Г] §13,§48; [M] пп.153,164,165; [Т] §15 (см. также конец темы 13) |
| Потенциальные и обобщенно-потенциальные силы. Обобщенный потенциал. Структура обобщенно-потенциальных сил. Важнейшие примеры. | [Г] §§
2,3,4,11; [M] пп. 12-16, 56,57, 138, 145 [Т] §13, §15; [3a] §0,§1 §11; |
| Линеаризация
уравнений Лагранжа в малой окрестности
положения равновесия. Вид общего
решения линеаризованной системы.
Нормальные (главные) координаты
системы.
|
[A] §20; [Г] §§40,41; [M] пп. 228,229; [Т] тема 12 (см. также §7, стр.36) Этот материал можно почти полностью рассматривать на семинарах. Его изложение неодинаково, но равносильно во всех учебниках. Читать и сдавать с доказательствами вместе. |
| {ОСВОИТЬ САМОСТОЯТЕЛЬНО} Функционал действия и принцип Гамильтона (принцип экстремальности действия) для лагранжевых систем. Снова о калибровке и ковариантности . | [Т] §6; , тема 13 [3b] конец лекции 7 и лекция 8 [M] п. 141 |
|
Дифференциальные уравнения, векторные
поля и однопараметрические группы -
взаимозаменимые объекты. Распространение действия однопараметрической группы с пространства положений на пространство состояний. Группа симметрий автономной лагранжевой системы; условие инвариантности лагранжиана. Интеграл Нетер. Теорема о существовании циклической координаты при наличии интеграла Нетер (только общая идея доказательства). Момент обобщенных сил относительно векторного поля и момент обобщенных импульсов относительно него: общая теорем об изменении момента. Получение общепринятых теорем об изменении импульса и кинетического момента из этой общей теоремы. |
[A] §20; [3a] §10; |
|
Симплектическая единица. Векторная
форма канонических уравнений. Автономные замены переменных, сохраняющие такую форму (канонические): их матрицы Якоби - симплектические. После транспонирования матрица остается симплектической. Линеаризация автономных гамильтоновых систем. Векторный вид линейных гамильтоновых систем. Вещественность и четность характеристического многочлена и две симметрии в расположении собственных чисел |
[Г] §31; [M] п. 168; [Т] §17 (стр. 236-240) [3b] лекция 6 |
| Скобка
Пуассона двух функций и ее свойства. Полная производная функции в силу гамильтоновой системы; автономный и неавтономный случай. Теорема Пуассона о первых интегралах. Гамильтоновы векторные поля, их скобка Ли. |
[Г] §15; [M] пп. 166,167; [Т] §16,18; , тема 17 [3b] лекция 7 |
| Сведение
неавтономной гамильтоновой системы к
автономной размерности на две единицы
больше, но с несущественной постоянной
энергии. Понижение порядка системы канонических уравнений на фиксированном уровне энергии (уравнения Уиттекера). Расположение неособого уровня энергии в фазовом пространстве полностью определяет расположение тракторий на нем. |
[Г] §§20; [M] п. 152 152; [Т] §21 [3b] лекция 8 |
|
Сохранение функции Гамильтона при автономном каноническом
преобразовании. Критерий каноничности замены переменных в терминах 1-форм, в терминах инвариантности скобки Пуассона, в терминах 2-форм. Линейные канонические преобразования плоскости, канонические полярные координаты. |
[Г] §§24,25,32; [M] пп. 168-174; [Т] §19, §20 ; [3b] лекции 10,11 |
| Производящая функции канонического преобразования. Различные варианты уравнения Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби об интегрировании канонических уравнений. | [Г] §26; [M] пп. 175-179; [Т] §§20,21; тема 18 [3b] лекция 11 |
|
Интегралы в инволюции. Примеры таких
интегралов. Лемма о пополнении. Теорема о фазовых торах (связные компактные компоненты совместных уровней независимых функций в инволюции - без доказательства). Теорема о существовании переменных "действие-угол" для систем с полным набором интегралов в инволюции (без доказательства); вид общего решения гамильтоновой системы в этих переменных. |
[M] пп.
180,181,183; [Т] §§18-20, [3b] лекция 12 стр.264-268 |
| Гармонический осциллятор, задача Кеплера, волчок Лагранжа, частица в электромагнитном поле как иллюстрации к разным разделам теории. | |
| Лемма о каноническом преобразовании, осредняющем слагаемое второго порядка малости в гамильтониане. | |
| Поправка к частоте малых колебаний математического маятника |
НАЗАД
НАЗАД НАЗАД НАЗАД
НАЗАД НАЗАД НАЗАД НАЗАД