ekz_le_7.html

14.01.2003

А. Сформулировать теорему про интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.
Б. Доказать с помощью этой теоремы, что если все решения гамильтоновой системы периодичны, то период зависит только от полной энергии.

15.01

Рассматривается линейная гамильтонова система с двумя степенями свободы.
А. Как Вы представляете себе вид ее гамильтониана?
Б. Вспомните (но писать это не надо), что такое приведение квадратичной формы на плоскости к главным осям.
В. Напишите, как связаны гамильтониан и лагранжиан натуральной системы.
Г. Напишите, что такое калибровка лагранжиана.
Д. Уясните, как на комплексной плоскости могут располагаться собственные значения линейной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы.

20.01

1212.
Точка в трехмерном пространстве движется в таком потенциальном поле, что у нее есть интеграл импульса вдоль оси $x$ и интеграл момента относительно оси $z.$
А. Это нетеровы интегралы, не правда ли? Напишите теорему Нетер. Назовите группы симметрий в задаче.
Б. Можно ли так ввести лагранжевы координаты, чтобы оба названных интеграла стали циклическими?
В. Сформулируйте теорему Пуассона и, не забывая о ней...
Г. ...перечислите все интегралы задачи.

1213.
А. Какой гамильтониан отвечает лагранжиану $2L = x2 + y2 + xy- yx - x2?$ Б. Решить уравнения Лагранжа, порожденные $L.$ В. Переписать лагранжиан и гамильтониан с привлечением (обычных!) полярных координат.

27.01

Точка единичной массы движется в поле с потенциалом $V = xr2/2,x > 0.$
A. Запишите гамильтониан в полярных координатах и получите циклический интеграл и интеграл энергии. Сформулируйте теорему, которую Вы здесь применяете.
Б. При каких значениях постоянных этих интегралов совместные уровни названных интегралов в фазовом пространстве являются двумерными торами? Сформулируйте теоремы, которые Вы здесь применяете.
В. Есть ли у этой задачи еще один первый интеграл?

06.02

Точка единичной массы движется по конусу $z2 = x2 + y2 z > 0$ в поле тяжести с $g = 1$ .
А. Сформулируйте общие теоремы динамики и теоремы лагранжева формализма, которые применимы в этой задаче.
Б. Что такое отделение переменных и простое разделение переменных? Можно ли обнаружить эти явления в гамильтониане этой задачи, применяя декартовы координаты? полярные координаты?

12.02

Однородный отрезок длины $2a$ и массы $m,$ с центром масс $S$ и находящийся в поле тяжести, скользит без трения по наклонной плоскости (угол $a$ с вертикалью) .
А. Сформулируйте общие теоремы динамики и/или теоремы лагранжева формализма, которые применимы в этой задаче.
Б. Напишите первые интегралы движения, которые Вы можете в ней получить.
В. Что такое отделение переменных и простое разделение переменных? Можно ли обнаружить эти явления в гамильтониане этой задачи? Как именно?

21.02

Точка единичной массы движется по поверхности $x2 + 4z2 = 1 , z > 0$ в поле с потециалом $V = atx + 1by2. 2$
А. Введите лагранжевы координаты так, чтобы хотя бы при одном значении $(a,b)$ система допускала циклический интеграл.
Б. При каких значениях $(a,b)$ система допускает интеграл энергии? Сформулируйте и докажите соответствующую теорему.
В. Напишите гамильтониан задачи в ситуации A. Имеет ли место разделение переменных? отделение переменных? ответ объясните.

РЕКОМЕНДАЦИИ: Продумывать, а не заучивать формулировки теорем. Не забывать, что теорема содержит в себе не только "тогда", но и "рассмотрим" и "предположим". Задаваться вопросами наподобие "а где это используется?" применительно как к предположениям теоремы при анализе доказательства, Тогда и применение теорем пойдет веселее.

ВСЕ, КТО НЕ СДАЛ ПИСЬМЕННУЮ ЧАСТЬ ЭКЗАМЕНА В ПОСЛЕДНИЕ ТРИ РАЗА, НАПИСАЛИ ТУ ИЛИ ИНУЮ ЧУШЬ, ПРОСТО-НАПРОСТО ЧУШЬ. Преподаватели прекрасно осведомлены о манере идти на экзамен без реальной подготовки, в расчете на удачу или моральную усталость экзаменатора. Так что постарайтесь по-настоящему осмыслить тот минимум, на который предостаточно указаний на этом сайте.