Программа экзамена по классической механике
на 1 потоке отделения математики в седьмом семестре 2009/10 учебного года

1. Размерности основных физических величин и констант. П-теорема и ее применение для сокращения выкладок.

2. Элементарные представления о пространстве, времени, системе отсчета. Задание движения точки в декартовой "неподвижной" системе координат. Векторы скорости и ускорения точки и их проекции на оси.  Траектория точки. Базовая мысль: УРАВНЕНИЕ НЬЮТОНА для точки выписывается в системе отсчета, которую с принятой степенью точности можно считать инерциальной, что вектор силы есть МОДЕЛЬ суммы воздействий на точку со стороны других объектов; сравнение вычислений с наблюдениями - основа для оценки модели и ее уточнения. Компоненты скорости в цилиндрической и сферической системе координат, идея линейности скорости по производным координат. Переход от векторного уравнения Ньютона к системам дифференциальных уравнений в декартовых и полярных (цилиндрических) координатах.   

3. Определение твердого тела.  Задание движения тела (в котором есть три точки, не лежащие на одной прямой) при помощи репера, жестко с ним связанного; условие гладкости движения. Теорема: при движении тела в каждый момент времени существует и единствен вектор угловой скорости  такой, что скорости для любых двух точек тела связаны ФОРМУЛОЙ ЭЙЛЕРА, задающей тем самым поле (распределение) скоростей в твердом теле. Явное выражение для угловой скорости. При вращении вокруг неподвижной оси вектор угловой скорости равен единичному вектору оси вращения, умноженному на скорость изменения угла поворота. Уравнения Пуассона. Угловая скорость в углах Эйлера, идея линейности ее выражения по производным углов.

4. Работа силы на перемещении. Элементарная работа силы. Потенциальная энергия.  Условия существования интеграла энергии. Условия существования интеграла импульса в проекции на одну их осей координат. Выражение проекции кинетического момента в декартовой и цилиндрической системах координат.

5. Сила Лоренца, размерности участвующих величин. Основные эффекты движения заряда в постоянном магнитном поле (покой, движение по окружности, по прямой и в общем случае по винтовой линии). Исследование движения заряда в постоянном электромагнитном поле, когда векторы напряженности электрического поля и индукции магнитного поля постоянны. 

6. Система уравнений Ньютона для нескольких материальных точек. Возможность появления неизвестных величин в выражениях сил и пополнение системы уравнений движения уравнениями связей. Основной способ и простейшие примеры задания сил, выражающих воздействие связей и наглядный смысл этих сил: движение точки по поверхности и условие постоянности расстояния между двумя точками. Теоремы об изменении импульса, кинетического момента и кинетической энергии для системы материальных точек. Деление сил на внешние и внутренние; соответствующие переформулировки теорем об изменении импульса (о движении центра масс), об изменении кинетического момента и кинетической энергии. Объяснение того, что неизменность формы твердого тела обеспечивается внутренними силами, причем в этом случае на изменение кинетической энергии они не влияют.

7. УРАВНЕНИЕ НЬЮТОНА при движении по прямой. Фазовая плоскость. Разложение решения по формуле Тейлора и основные свойства фазовых кривых. Автономные задачи. Состояния равновесия. Необходимое и достаточное условие существования интеграла энергии для одномерного уравнения Ньютона. Устройство фазовых портретов консервативных задач (области возможности движения, симметрия фазовых траекторий, центры и седла соответствуют минимумам и максимумам потенциальной энергии; периодические решения, сепаратрисы).  

8. Линейные задачи динамики точки на прямой и их фазовые портреты (центры, фокусы, узлы, седла). Гармонические и затухающие колебания.

9. Техника интегрирования в квадратурах и ее применение в простейших случаях. Теорема о приведении потенциальной энергии к степенной функции. Промежуточная фазовая плоскость и общие соображения о локальном поведении фазовых кривых.

10. Общая формула для периода колебаний в потенциальной яме. Формула Линдштедта для колебаний с малой энергией.

11. Основные эффекты при возбуждении гармонического осциллятора при возбуждении  периодической силой: биения, раскачка; предельный переход в решении задачи Коши при стремлении вынуждающей частоты к собственной. 

12. Основные эффекты при возбуждении осциллятора с вязким трением периодической силой: вынужденные колебания как предел всех движений, амплитудно-частотная характеристика. Явление параметрического резонанса (возможность неограниченного увеличения амплитуды  при сколь угодно малом периодическом изменении коэффициента  жесткости гармонического осциллятора). 

13. Нормальная реакция при идеальной связи; вязкое и сухое трение: методики решения уравнений движения в той и другой модели. Простейшие явления, связанные с сухим трением. 

14. Выражения для импульса, кинетического момента и кинетической энергии материальной точки. Теоремы об изменении импульса, кинетического момента и кинетической энергии. Работа силы на перемещении. Элементарная работа силы. Потенциальная энергия.  Условия существования интеграла энергии. Условия существования интеграла импульса в проекции на одну их осей координат. Выражение проекции кинетического момента в декартовой и цилиндрической системах координат.  

15. Сила гравитации между двумя материальными точками, размерности участвующих величин. Сведение задачи двух тел к задаче Кеплера. Интеграл кинетического момента и плоскость Лапласа. Условие существования интеграла площадей и объяснение смысла этого термина. Выражение интегралов момента и энергии в полярной системе координат для движения точки в центральном поле сил. Вывод уравнения траекторий для движения в центральном поле сил (переход к полярному углу как новой независимой переменной, преобразование интеграла энергии). Аналогия между задачей Кеплера и гармоническим осциллятором. Вывод уравнения орбиты и связь ее параметров с постоянными интегралов; зависимость формы орбиты от энергии. Большая полуось эллиптической орбиты. Три закона Кеплера.

16. Подвижные реперы и системы координат. Формула, связывающую абсолютную и относительную производные вектора. Формула сложения скоростей. Формула сложения ускорений. Формула Ривальса для поля ускорений в твердом теле. Формула сложения угловых скоростей. Поступательное, вращательное (вокруг неподвижной оси) и плоскопараллельное движения тела. Мгновенный центр скоростей.

17. Алгебраическая кривизна плоской кривой. Уравнения движения в плоскости в проекциях на естественные оси (репер Френе). Модели идеальной связи, вязкого трения и сухого трения; методика решения уравнений движения и вычисления реакции опоры во всех случаях. Лемма о скорости точки жесткой кривой в месте соприкосновения с неподвижной точкой. Лемма о разности скоростей в месте соприкосновения проскальзывающих кривых. Натуральные параметры кривых при качении без проскальзывания.  Центроиды. Произвольное плоское движение как качение центроиды по центроиде.

18. Преобразование системы уравнений Ньютона при переходе в равномерно вращающуюся систему отсчета. Силы инерции переносная и кориолисова. Модификация теоремы об изменении кинетической энергии. Два слагаемых в силе тяжести на Земле. Падение с учетом силы кориолисовой силы инерции.  

19. Общие формулы Кенига для линейных и билинейных динамических функций. Формулы Кенига для динамических функций системы точек:
      радиус-вектор центра масс,
      импульс (количество движения),
      кинетический момент,
      кинетическая энергия,  
      вириал, полный момент инерции,
      момент инерции относительно оси,
      энергия ускорений.

20. Импульс, кинетический момент и кинетическая энергия твердого тела, выраженные через проекции угловой скорости в главных центральных осях и через главные центральные моменты инерции твердого тела. Аналогичные формулы для тела с неподвижной точкой. Кинетический момент как градиент кинетической энергии.  Эллипсоид инерции. Неравенства треугольника. Условие, когда тело плоское. Применение свойств симметрии при нахождении главных плоскостей и осей.

21. Теоремы об изменении
       импульса,
       кинетического момента
       и кинетической энергии
                    в абсолютном движении
                    и относительно осей Кенига.
    Законы сохранения как следствия общих теорем.

22. Уравнения движения твердого тела. Понятие эквивалентности систем сил, действующих на твердое тело. Приведение системы сил к точке. Приведение сил тяжести к центру масс тела. Уравнения Эйлера в динамике твердого тела. Твердое тело с неподвижной точкой: постановка задачи и уравнения движения.

23. Вращение твердого тела по инерции (случай Эйлера). Геометрическая интерпретация Пуансо. Фазовый портрет на поверхности энергии.

24. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Ее направляющие косинусы в главном репере для неподвижной точки и угол между кинетическим моментом и осью вращения. Определение реакций при вращении вокруг неподвижной оси. Статические и динамические реакции.

25. Движение твердого тела по поверхности. Модели идеально гладкой и идеально шероховатой поверхностей. Движение однородного шара по абсолютно шероховатой плоскости. Модель сухого трения скольжения. Движение однородного шара по плоскости с сухим трением.

    НАЗАД   НАЗАД   НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД   НАЗАД