Содержание экзамена по теоретической механике
на отделении механики в третьем семестре 

1. Элементарные представления о пространстве, времени, системе отсчета. Задание движения точки в декартовой "неподвижной" системе координат. Векторы скорости и ускорения точки и их проекции на оси.  Траектория точки.  Определение твердого тела.  Задание движения тела (в котором есть три точки, не лежащие на одной прямой) при помощи репера, жестко с ним связанного; условие гладкости движения.  Базовая мысль: УРАВНЕНИЕ НЬЮТОНА для точки выписывается в системе отсчета, которую с принятой степенью точности можно считать инерциальной, что вектор силы есть МОДЕЛЬ суммы воздействий на точку со стороны других объектов; сравнение вычислений с наблюдениями - основа для оценки модели и ее уточнения.
2. Размерности основных физических величин и констант. П-теорема и ее применение для сокращения выкладок. Выражение для силы гравитации (между двумя материальными точками). Выражение для силы Лоренца. Размерности участвующих величин.
3. Известные факты: (1) группа изометрий трехмерного евклидова пространства состоит из коммутативной группы параллельных переносов и некоммутативной группы поворотов; (2) каждое ортогональное преобразование (изометрия) трехмерного пространства с сохранением ориентации есть поворот вокруг некоторого единичного вектора на некоторый угол. Формула конечного поворота вокруг заданного единичного вектора на заданный угол (выражения образа через прообраз и наоборот). 
4. Теорема: при движении тела в каждый момент времени существует и единствен вектор угловой скорости  такой, что скорости для любых двух точек тела связаны ФОРМУЛОЙ ЭЙЛЕРА. Явное выражение для угловой скорости. Бесконечно малое (то есть близкое к тождественному и рассматриваемое с точностью до бесконечно малых более высокого порядка) перемещение твердого тела  может быть представлено композицией малого сдвига отмеченной точки вдоль некоторого направления и малого поворота вокруг некоторой оси, проходящей через эту точку; при этом формула конечного поворота упрощается. Бесконечно малые повороты перестановочны. В частном случае вращения вокруг неподвижной оси вектор угловой скорости равен единичному вектору оси вращения, умноженному на скорость изменения угла поворота.
5. Разложения скорости и ускорения в полярной системе координат. Переход от векторного уравнения Ньютона к системам дифференциальных уравнений в декартовых и полярных (цилиндрических) координатах. 
6. Основные эффекты движения заряда в постоянном магнитном поле (покой, движение по окружности, по прямой и в общем случае по винтовой линии). Исследование движения заряда в постоянном электромагнитном поле, когда векторы напряженности электрического поля и индукции магнитного поля перпендикулярны.
7. Выражения для импульса, кинетического момента и кинетической энергии. Теоремы об изменении импульса, кинетического момента и кинетической энергии. Работа силы на перемещении. Элементарная работа силы. Потенциальная энергия.  Условия существования интеграла энергии. Условия существования интеграла импульса в проекции на одну их осей координат. Выражение проекции кинетического момента в декартовой и цилиндрической системах координат. Условие существования интеграла площадей и объяснение смысла этого термина. 
8. Преобразование системы уравнений Ньютона при переходе в равномерно вращающуюся систему отсчета. Силы инерции переносная и кориолисова. Два слагаемых в силе тяжести на Земле. Падение с учетом силы кориолисовой силы инерции.  
9. Система уравнений Ньютона для нескольких материальных точек. Возможность появления неизвестных величин в выражениях сил и пополнение системы уравнений движения уравнениями связей. Основной способ и простейшие примеры задания сил, выражающих воздействие связей и наглядный смысл этих сил: движение точки по поверхности и условие постоянности расстояния между двумя точками. Теоремы об изменении импульса, кинетического момента и кинетической энергии для системы материальных точек. Деление сил на внешние и внутренние; соответствующие переформулировки теорем об изменении импульса (о движении центра масс), об изменении кинетического момента и кинетической энергии. Объяснение того, что неизменность формы твердого тела обеспечивается внутренними силами, причем в этом случае на изменение кинетической энергии они не влияют. Силы, не влияющие на существование интеграла энергии в динамике точки: реакция неподвижной поверхности, магнитная составляющая силы Лоренца и кориолисова сила инерции.   
10. Сведение задачи двух тел к задаче Кеплера. Движение точки под действием центральной силы: интеграл кинетического момента и плоскость Лапласа. Интеграл энергии. Выражение интегралов в полярной системе координат. Переход к полярному углу как новой независимой переменной и вывод уравнения траекторий. Аналогия между задачей Кеплера и гармоническим осциллятором. Вывод уравнения орбиты и связь ее параметров с постоянными интегралов; зависимость формы орбиты от энергии. Большая полуось эллиптической орбиты. Три закона Кеплера. Формулы Клеро (Бине). Вывод закона тяготения Ньютона из законов Кеплера.
11. УРАВНЕНИЕ НЬЮТОНА при движении по прямой. Фазовая плоскость. Разложение решения по формуле Тейлора и основные свойства фазовых кривых. Автономные задачи. Состояния равновесия.  
12. Линейные задачи динамики точки на прямой и их фазовые портреты (центры, фокусы, узлы, седла). Гармонические и затухающие колебания. Отображение Пуанкаре (отображение последования) для затухающих колебаний; логарифмический декремент затухания. 
13. Необходимое и достаточное условие существования интеграла энергии для одномерного уравнения Ньютона. Устройство фазовых портретов консервативных задач (области возможности движения, симметрия фазовых траекторий, центры и седла соответствуют минимумам и максимумам потенциальной энергии; периодические решения, сепаратрисы). Техника интегрирования в квадратурах и ее применение в простейших случаях. Теорема о приведении потенциальной энергии к степенной функции. Промежуточная фазовая плоскость и общие соображения о локальном поведении фазовых кривых. Понятие о бифуркационных диаграммах, когда потенциальная энергия зависит от параметра, о простейших наблюдениях теории катастроф.
14. Общая формула для периода колебаний в потенциальной яме. Формула Линдштедта для колебаний с малой энергией. Выражение периода через площадь внутри фазовой кривой на плоскости "координата-импульс". Переменные "действие-угол"  как  приведение дифференциальных уравнений консервативной системы  к  максимально  простому виду в области,  которая  содержит решения целиком.
15. Теоремы: уравнение Ньютона с силой, зависящей только от положения и времени, равносильно системе уравнений в ФОРМЕ ГАМИЛЬТОНА на фазовой плоскости  "координата-импульс"; гамильтониан-энергия сохраняется в автономном случае. Симплектическая единица и условие сохранение гамильтоновой формы при замене переменных на фазовой плоскости (симплектичность матрицы). Теорема: отображение Пуанкаре за произвольное время вдоль решений даже неавтономных уравнений Гамильтона сохраняет площадь любой области. При добавлении вязкого трения площадь со временем  экспоненциально уменьшается.  
16. Основные эффекты при возбуждении гармонического осциллятора при возбуждении  периодической силой: биения, раскачка; предельный переход в решении задачи Коши при стремлении вынуждающей частоты к собственной. 
17. Основные эффекты при возбуждении осциллятора с вязким трением периодической силой: вынужденные колебания как предел всех движений, амплитудно-частотная характеристика. Влияние кубической нелинейности в выражении силы на вид вынужденного колебания. Возможность существования трех значений амплитуды вынужденных колебаний.
18. Уравнение движения маятника переменной длины и его приближенный вид для малых отклонений от вертикали. Отображение Пуанкаре за период уравнения Ньютона. Явление параметрического резонанса (возможность неограниченного увеличения амплитуды  при сколь угодно малом периодическом изменении коэффициента  жесткости гармонического осциллятора). 
19. Уравнения движения в проекциях на естественные оси (репер Френе). Замечание: кривая с точностью до бесконечно малых третьего порядка приближается соприкасающейся окружностью. Алгебраическая кривизна плоской кривой. Нормальная реакция при идеальной связи; вязкое и сухое трение: методики решения уравнений движения в той и другой модели. Простейшие явления, связанные с сухим трением. Движение по вращающейся кривой: кориолисова составляющая нормальной реакции. Перестройка фазового портрета с ростом угловой скорости вращения в случае окружности с неподвижным вертикальным диаметром.
20. Колебания с малой амплитудой сферического маятника (как у гармоническиго осциллятора на плоскости) и маятника Фуко (как у гармонического осциллятора в поворачивающихся осях). Картина траекторий бигармонического осциллятора (фигуры Лиссажу и их отображение на биллиард). Всюду плотность траекторий при иррациональном отношении частот.

Первым вопросом в билете будет фазовый портрет. Список фазовых портретов:

1. Движение по инерции. 
2. Движение под действием только вязкого трения.
3. Движение в поле тяжести (на основе общего решения линейного уравнения).
4. Движение в поле тяжести (на основе интеграла энергии).
5. Движение в поле тяжести с вязким трением.
6. Гармонический осциллятор (на основе общего решения).
7. Гармонический осциллятор (на основе интеграла энергии).
8. Гармонический осциллятор с небольшим вязким трением.
9. Гармонический осциллятор с большим вязким трением.
10. Движение с линейной отталкивающей силой (на основе общего решения).
11. Движение с линейной отталкивающей силой (на основе интеграла энергии).
12. Движение с линейной отталкивающей силой и вязким трением.
13. Консервативная система в окрестности регулярной точки потенциальной энергии.
14. Консервативная система в окрестности невырожденного минимума потенциальной энергии. 
15. Консервативная система в окрестности невырожденного максимума потенциальной энергии.
16. Консервативная система в окрестности невырожденного перегиба потенциальной энергии.
17. Математический маятник. 
18. Точка на вращающейся окружности при небольшой угловой скорости.
19. Точка на вращающейся окружности при большой угловой скорости.
20. Гармонический осциллятор при наличии сухого трения.