Основные знания и навыки, ожидаемые от студентов-механиков на зачете и (или) экзамене по теоретической механике после 3-го семестра (с учетом курса общей физики и дифференциальных уравнений): Студенту предстоит

  1. понимать, что движение может рассматриваться только с точки зрения некоторой системы отсчета; знать определения и формулы для скорости и ускорения в декартовой "неподвижной" системе координат
  2. знать определение твердого тела, понимая, существование в окружающем твердых тел является (по Пуанкаре) фундаментом нашего ориентирования в окружающем мире - и воплощено в идее группы изометрий трехмерного евклидова пространства, которая состоит из коммутативной группы параллельных переносов и некоммутативной группы поворотов;
  3. поскольку всякое бесконечно малое перемещение твердого тела (в котором есть три точки, не лежащие на одной прямой) может быть представлено композицией малого сдвига отмеченной точки вдоль некоторого направления и малого поворота вокруг некоторой оси, проходящей через эту точку, предельным переходом надо уметь выводить, что при движении тела в каждый момент времени существует и единствен вектор угловой скорости -- w  такой, что (формула Эйлера)
    [ ---] vA = vB + w-Ч AB ;

    для любых двух точек тела A,B;  надо понимать, почему только в частном случае вращения вокруг неподвижной оси с направляющим вектором e  будет -- w = fe, а общем случае такая формула невозможна;

  4. знать разложения скорости и ускорения в полярной системе координат
    2 v = rer + rfef, a = (r- rf )er + (rf + 2rf)ef ;

  5. понимать, что уравнение Ньютона ma = F  выписывается в системе отсчета, которую с принятой степенью точности можно считать инерциальной, что вектор силы F  есть модель суммы воздействий на точку со стороны других объектов;
  6. уметь переходить от векторного уравнения Ньютона к системам дифференциальных уравнений в декартовых и полярных (цилиндрических) координатах;
  7. знать простейшие выражения для силы гравитации (между двумя материальными точками) и электромагнитной силы (сила Лоренца)
    ( ) F = q E + 1 [v Ч B] ; c

  8. знать размерности основных физических величин и констант, применять соображения размерности и П-теорему, в том числе для сокращения выкладок;
  9. знать условия существования интегралов импульса, площадей и энергии; помнить их выражения в декартовой и цилиндрической системах координат;
  10. знать законы Кеплера и уметь доказывать их равносильность закону тяготения Ньютона;
  11. знать основные эффекты движения заряда в постоянном электромагнитном поле (покой, движение по окружности, по прямой и в общем случае по винтовой линии);
  12. уметь решать до конца, графически и качественно исследовать различные варианты (выделяя среди них грубые и негрубые) линейного уравнения второго порядка
    mx = -kx - cx+ Phi

    понимая его и в физическом смысле, и как тривиальное приближение для уравнений Ньютона вида mx = F (x,x);  

  13. для последних уравнений знать общие свойства фазовых траекторий (на фазовой плоскости (x,x);  выделять среди них равновесия, знать классификацию Пуанкаре особых точек, разпознавать среди грубые (седла, узлы и фокусы) и негрубые (центры), понимать поведение траекторий вблизи равновесий, находить cепаратрисы седел и максимально продолжать их;
  14. на плоскости (x,x)  изображать фазовые кривые равноускоренного движения, гармонического осциллятора, осциллятора с трением (два грубых варианта), горизонтального движения с вязким трением, падения с вязким трением.
  15. знать устройство фазовых портретов консервативных задач (симметрия фазовых траекторий, центры и седла соотвествуют минимумам и максимумам потенциальной энергии); знать и применять в простых частных случаях простейшую технику интегрирования в квадратурах:
    1s2 + V (s) = h ==> dt = V~ --ds----- ==> ... ; 2 2(h -V (s)

    иметь представление об бифуркационных диаграммах, когда потенциальная энергия зависит от параметра, о простейших наблюдениях теории катастроф;

  16. знать основные эффекты при возбуждении осциллятора периодической силой
    mx +kx + cx = Phi cosnt ,

    то есть биения, раскачка, вынужденные колебания;

  17. понимать первичную идею теории теории возмущений —
    0 2 x(t,e) = x (t)+ eq(t)+ e j(t,e)

    на примере уравнения

    mx = F (x)+ ePhi(x,x,t)

    и уметь приближенно вычислять, например, работу возмущающей силы интегрированием вдоль порождающего решения:

    integral t2 integral t2 A = ePhi dx = e Phi(x0(t),x0(t),t)+ O(e2) . t1 t1

  18. понимать идею искусственного введения малого параметра
    x = l(t) + eq

    для исследования движений, близких к известному l(t),  и выводить уравнение в вариациях вида

    q + A(t)q = 0 ,

    для уравнений mx = F(x,t);  

  19. понимать идею отображения Пуанкаре (отображения за период), в частности, для уравнения вида
    x + (1 + mf(t))x = 0 ,f(t+ T) =_ f(t)

    и объяснять на примерах (ступенчатая функция f(t))  явление параметрического резонанса, то есть возможной неустойчивости даже при малых m;  

  20. понимать на примерах идею отображения Пуанкаре (отображение последования) на фазовой плоскости для нелинейных уравнений и объяснять при его помощи появление автоколебаний (предельного цикла по Пуанкаре);
  21. понимать картину траекторий бигармонического осциллятора (фигуры Лиссажу и их отображение на биллиард) и доказывать всюду плотность траекторий при иррациональном отношении частот;
  22. знать качественные свойства гармонического осциллятора на плоскости и сферического маятника;
  23. уметь вычислять силы инерции при переходе к равномерно вращающейся системе координат, знать формулу для веса, качественные эффекты падения тел и колебания маятника Фуко;
  24. знать формулу длины дуги на окружности; понимать, что плоская кривая с точностью до бесконечно малых третьего порядка приближается соприкасающейся окружностью; правильно изображать репер Френе; помнить и понимать формулы
    s2 v = set , a = set + r et ;

  25. знать три основные модели движения точки по неподвижной плоской кривой: идеальная связь, вязкое трение и сухое трение; знать методику и последовательность решения уравнений движения во всех вариантах и основные качественные эффекты движения;
  26. уметь доводить задачи, не требующие громоздких выкладок, до правильного ответа, и давать ответу качественную, геометрическую или физическую интерпретацию.

ЛИТЕРАТУРА:

Я.В.Татаринов. "Лекции по классической динамике" —
отражение вкусов автора, но не замена будущим лекциям
Ю.Ф.Голубев. "Основы теоретической механики" —
обстоятельный, выверенный учебник, написанный профессором нашей кафедры
А.П.Маркеев. "Теоретическая механика" —
мастерское и полное изложение предмета с общепризнанной терминологией
В.Ф.Журавлев. "Основы теоретической механики" —
оригинальный и удачный опыт современного видения предмета
Рекомендуется кафедральный сборник "Задачи по классической механике", вышедший в 2001 году (именно это издание).

Ниже даются образцы таких задач, которые нельзя найти в рекомендуемом задачнике

СООБРАЖЕНИЯ РАЗМЕРНОСТИ

  1. Определить размерности
    1. ) гравитационной постоянной f  из закона тяготения (Гука-)Ньютона
      F = f mM2-; R

    2. ) величины заряда в системе единиц СГС из закона Кулона
      qQ F = -2; R

    3. ) единиц измерения напряженности электрического поля E  и магнитного поля B  из выражения силы Лоренца
    4. ) модуля Юга E  из выражения силы растяжения
      F Deltal S-= E -l ;

      при малом увеличении длины стержня l  с площадью сечения S;  

    5. ) коэффициента жескости k  Гука из формулы F = kDeltal; при упругой деформации;
    6. ) коэффициента вязкости m  из формулы Ньютона
      F = mv S- h

      при движении пластинки площади S  по слою жидкости высотой h  со скоростью v;  

    7. ) коэффициента вязкого сопротивления c  для малого тела в жидкости: F = -cv;
  2. Шар радиуса R  движется в жидкости со скоростью v.  Допустим, что сила сопротивления, помимо названных величин, зависит еще только от
    1. ) плотности жидкости r;  
    2. ) вязкости жидкости m.  

    Найти соответствущие выражения силы F.  

  3. Как выражаются из соображений размерности и точно
    1. ) модуль a  ускорения точки при равномерном движении со скоростью v  по окружности радиуса R?  
    2. ) скорость после свободного падения по вертикали на высоту h?  
    3. ) период малых колебаний математического маятника?
    4. ) период обращения по круговой орбите радиуса R,  в поле тяготения неподвижной массы M ?  
  4. Если Земля сожмется вдвое, то во сколько раз изменится первая космическая скорость? А вторая? На Луне ускорение силы тяжести в шесть раз меньше, чем на Земле. Как там с первой космической скоростью?
  5. С помощью П-теоремы получить следующие зависимости:
    1. ) скорость звука в упругом материале плотности r  c модулем Юнга Е;  
    2. ) расход жидкости Q  (это вес в единицу времени), имеющей плотность r  и перетекающей через плотину: возвышение жидкости над плотиной (вдалеке от нее) равно h  [ответ: V~ ----- Q = Cr G3h5];  
    3. ) закон r(t)  распространения сферической ударной волны после сильного взрыва (в начале координат) энергии E  в газе плотности r  [ответ: r = (E/r)1/5t2/5];  
    4. ) сопротивление участка трубы площади S  при движении вдоль него вязкой жидкости плотности r  со средней скоростью v.  
  6. Известны следующие интегралы (произвольную константу опускаем):
    integral integral V~ -dx--= arcsin x ; -dx- = ln(t+ 1) . 1 - x2 t+ 1

    С помощью П-теоремы найти соответственно

    integral integral V~ -dx----; -dx-- . a2 - x2 at+ b

    Придумать аналогичные примеры.

Hosted by uCoz