1. Предмет классической механики. Основные понятия (пространство, время, система отсчета) и модели классической механики (материальная точка, абсолютно твердое тело, материальная система).
  2. Аксиомы динамики системы. Принцип детерминированности. Принцип относительности Галилея.
    I.  К и н е м а т и к а.
  3. Закон движения, траектория, скорость и ускорение точки. Скорость и ускорение точки в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Проекции ускорения на оси естественного трехгранника.
  4. Движение твердого тела. Способы задания движения. Углы Эйлера. Угловая скорость твердого тела. Формулы Эйлера для поля скоростей и Ривальса для поля ускорений.
  5. Сложное движение точки. Теорема сложения скоростей. Связь абсолютной и относительной производных вектора. Теорема сложения ускорений.
  6. Поступательное, вращательное (вокруг неподвижной оси) и плоскопараллельное движения тела. Мгновенный центр скоростей и центроиды. Твердое тело с неподвижной точкой. Мгновенная ось вращения и аксоиды. Свободное твердое тело. Мгновенная винтовая ось
  7. Сложное движение твердого тела. Теорема сложения угловых скоростей. Кинематические формулы Эйлера.
    II. Д и н а м и к а   т о ч к и.
  8. Уравнения движения материальной точки. Прямая и обратная задачи динамики. Уравнения движения в проекциях на естественные оси.
  9. Работа силы на перемещении. Потенциальные силы. Силовая функция и потенциальная энергия. Аддитивность потенциала. Силы трения. Кинетическая энергия.
  10. Теоремы об изменении импульса, кинетического момента и кинетической энергии точки в инерциальной системе отсчета. Законы сохранения импульса, кинетического момента и полной механической энергии. Первые интегралы.
  11. Простейшие модели динамики точки: линейный осциллятор, движение точки в однородном поле тяжести.
  12. Движение точки под действием центральной силы. Свойства движения. Интеграл площадей. Формулы Бине.
  13. Законы Кеплера. Вывод закона всемирного тяготения из законов Кеплера.
  14. Движение точки в центральном гравитационном поле. Определение орбиты. I и II космические скорости. Уравнение Кеплера и определение закона движения по эллиптической орбите.
  15. Движение точки по кривой и по поверхности. Принцип освобождения. Заданные силы и реакции связей. Нормальная реакция, касательная реакция - сила трения. Реакция идеальной связи. Теорема о кинетической энергии при наличии связей. Интеграл энергии. Определение реакции как функции от положения точки на кривой в консервативном случае.
  16. Одномерное движение точки в консервативном случае. Фазовые портреты. Области возможности движения. Период колебаний в потенциальной яме. Малые колебания. Математический маятник. Циклоидальный маятник.
  17. Сферический маятник.
  18. Движение точки по отношению к неинерциальной системе отсчета. Переносная и кориолисова силы инерции. Закон изменения кинетической энергии относительного движения точки. Обобщенный интеграл энергии.
  19. Математический маятник во вращающейся системе координат. Бифуркация относительных равновесий. Перестройка фазового портрета. Равновесие материальной точки на Земле. Падение материальной точки на Землю с учетом вращения Земли.
  20. Маятник Фуко.
    III. Д и н а м и к а   с и с т е м ы   и   т в е р д о г о  т е л а.
  21. Основные понятия динамики системы материальных точек: центр масс, импульс, кинетический момент, кинетическая энергия. Оси Кенига. Формулы Кенига.
  22. Внешние и внутренние силы. Теоремы об изменении импульса, кинетического момента и кинетической энергии в абсолютном движении и относительно осей К±нига. Законы сохранения. Постановка задачи N тел. Задача двух тел. Ограниченная задача трех тел. Точки либрации в круговой ограниченной задаче трех тел.
  23. Осевые и центробежные моменты инерции твердого тела. Тензор инерции. Эллипсоид инерции. Главные оси и моменты инерции.
  24. Импульс, кинетический момент и кинетическая энергия твердого тела.
  25. Уравнения движения твердого тела. Понятие эквивалентности систем сил, действующих на твердое тело. Приведение системы сил к точке. Приведение сил тяжести к центру масс тела.
  26. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Определение реакций. Физический маятник. Приведенная длина и центр качания. Теорема Гюйгенса.
  27. Твердое тело с неподвижной точкой. Уравнения Эйлера-Пуассона и их первые интегралы. Волчок Эйлера. Геометрическая интерпретация Пуансо. Фазовый портрет. Перманентные вращения. Регулярная прецессия. Волчок Лагранжа. Гироскопический эффект.
  28. Движение твердого тела по поверхности. Модели идеально гладкой и идеально шероховатой поверхностей. Движение однородного шара по шероховатой плоскости. Модель сухого трения скольжения. Движение однородного шара по плоскости с сухим трением.
    IV. В в е д е н и е   в   а н а л и т и ч е с к у ю    м е х а н и к у.
  29. Понятие связи в аналитической механике; классификация связей (связи геометрические и кинематические, стационарные и нестационарные, голономные и неголономные). Виртуальные и действительные перемещения. Принцип освобождаемости от связей и гипотеза идеальных связей. Примеры.
  30. Принцип виртуальных перемещений для удерживающих связей. Уравнения равновесия в независимых лагранжевых координатах. Случай потенциальных сил.
  31. Принцип Даламбера-Лагранжа для систем с идеальными связями. Общие теоремы динамики как следствия этого принципа. Примеры.
  32. Обобщенные (лагранжевы) координаты системы. Обобщенные силы. Уравнения Лагранжа второго рода для голономных систем, как следствие принципа Даламбера-Лагранжа. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно вторых производных по времени от обобщенных координат. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил, функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа с множителями для неголономных систем. Примеры.
  33. Циклические координаты и соответствующие им первые интегралы (интегралы импульса и кинетического момента, как пример циклических интегралов). Интеграл энергии и обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби). Метод Рауса игнорирования циклических координат. Уравнения Рауса. Примеры. Однопараметрические группы симметрий и теорема Нетер. Примеры.
  34. Принцип Гамильтона. Принцип Якоби. Траектории склерономной консервативной механической системы как геодезические.
  35. Гироскопические и диссипативные силы. Обобщенный потенциал. Структура обобщенно-потенциальных сил. Диссипативная функция Релея. Примеры. Положения равновесия и стационарные движения голономных систем. Примеры. Понятие устойчивости по Ляпунову движения механической системы. Теорема Ляпунова об устойчивости движения (для автономных систем). Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия и теорема Рауса об устойчивости стационарного движения. Примеры.
  36. Линеаризация уравнений Лагранжа в малой окрестности положения равновесия. Уравнения для собственных частот и собственных векторов (собственных форм). Вид общего решения линеаризованной системы. Нормальные (главные) координаты системы. Примеры.
  37. Плоская ограниченная круговая задача трех тел. Точки либрации и их устойчивость. Области Хилла.
  38. Движение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Случай Лагранжа-Пуассона. Качественное исследование движения. Спящий волчок. Псевдорегулярная прецессия. Элементарная теория гироскопа.
  39. Движение твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле. Главный вектор сил тяготения. Гравитационный момент. Уравнения движения тела относительно центра масс. Положения относительного равновесия тела на круговой орбите и их устойчивость.
  40. Элементы теории удара.
  41. Преобразование Лежандра и его свойства. Функция Гамильтона. Нахождение функции Гамильтона натуральной системы. Система уравнений Гамильтона. Первые интегралы гамильтоновых систем. Понижение порядка гамильтоновой системы с помощью циклических интегралов. Примеры.
  42. Канонические преобразования. Групповые свойств канонических преобразований. Производящая функция и ее различные формы. Сохранении канонической формы уравнений при канонических преобразованиях. Критерии каноничности замены переменных. Сохранение и преобразование функции Гамильтона при каноническом преобразовании. Примеры.
  43. Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби об интегрировании канонических уравнений. Отделение переменных (метод Имшенецкого). Простейшие случаи разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Системы Лиувилля. Примеры. Динамические системы с гладкой инвариантной мерой. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Теорема о последнем множителе Якоби.
  44. Теорема Пуанкаре о возвращении. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.
  45. Скобка Пуассона двух функций и ее свойства. Теорема Якоби-Пуассона о первых интегралах. Интегралы в инволюции. Примеры таких интегралов. Теорема Лиувилля о полной интегрируемости. Переменные действие-угол.

    V. А н а л и т и ч е с к а я   м е х а н и к а.   С п е ц и а л ь н ы е   в о п р о с ы. 

  46. Уравнения Лагранжа в относительном движении.                
  47. Экстремальные свойства частот и их геометрическая интерпретация. Зависимость частот от жесткостных и инерционных параметров задачи. Изменение частот при наложении дополнительных связей.   
  48. Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость равновесия.
  49. Линеаризация уравнений движения в окрестности стационарного движения.
  50.   Оценка разности решений исходных уравнений Лагранжа и уравнений малых колебаний.
  51.   Калибровка лагранжиана.
  52.   Определение реакций связей с помощью уравнений Лагранжа второго рода.
  53.   Аналитические условия интегрируемости системы дифференциальных связей.
  54.   Геометрические условия неинтегрируемости системы дифференциальных связей.
  55.   Явный вид уравнений Лагранжа для натуральных систем. Коэффициенты связности в римановой метрике на многообразии положений.
  56.   Движение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Случай Ковалевской. Первые интегралы.
  57.   Операторное представление уравнений Гамильтона. Гамильтоновы векторные поля и условия их коммутируемости.
  58.   Уравнения Уиттекера. Обобщенный интеграл энергии как циклический интеграл.
  59.   Симплектические многообразия. Инвариантная форма уравнений Гамильтона. Связь симплектической структуры и скобки Пуассона. Критерий каноничности преобразования в терминах симплектической структуры.
  60.   Применение канонических преобразований в теории возмущений. Малые знаменатели.
  61.   Отображение последования Пуанкаре и его каноничность. Периодические решения. Матрица монодромии. Мультипликаторы. Орбитальная устойчивость.
  62.   Теорема о фазовых торах. Теорема о существовании переменных действие-угол.
  63.   Уравнения Якоби.
  64.   Производящая функция линейной замены при блочном представлении матрицы.
  65.   Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Уравнения в вариациях.
  66.   Принцип Гаусса. Квазикоординаты. Операция дифференцирования по квазикоординатам. Уравнения Аппеля.
  67.   Системы Чаплыгина. Множитель Чаплыгина.

    VI. Р е к о м е н д у е м ы е   п р и м е р ы

  68.   Двойной математический маятник.
  69.   Сила Лоренца, лагранжиан движения в магнитном поле; описание движения в постоянном поле. Закручивание траекторий при добавлении магнитного поля.
  70.   Задача о движении электрона по сфере в поле магнитного заряда и постоянном электрическом поле как приведенная система для волчка Лагранжа.
  71.   Интегрирование гармонического осциллятора методом Гамильтона-Якоби.
  72.   Интегрирование задачи Кеплера методом Гамильтона-Якоби.
  73.   Устойчивость стационарных движений. Бифуркации положений относительного равновесия (на примерах).
  74.   Задача о центре удара. Задача о соударениях биллиардных шаров.
  75.   Задача о брахистохроне.
  76.   Фазовые торы в конкретных задачах.
  77.   Маятник с вибрирующей точкой подвеса.
  78.   Сани Чаплыгина (конек). Описание движения в простейших случаях.

             НАЗАД   НАЗАД   НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД   НАЗАД

Hosted by uCoz