Программа итогового экзамена
(выделены вопросы, которые надо изучать в первую очередь;
расположение вопросов местами намеренно не совпадает
с последовательностью лекций, чтобы оживить взгляд на предмет)

1. Пересчет компонент вектора и координат точки при замене репера с участием матрицы перехода.
2. Компоненты скорости в цилиндрической и сферической системе координат.
3. Угловая скорость твердого тела.
4. Углы Эйлера. Вычисление матрицы перехода. Выражение угловой скорости, линейное по скоростям. Кинематические формулы Эйлера.
5. Связь абсолютной и относительной производных вектора.
6. Сложное движение точки. Формула сложения скоростей.
7. Формула сложения ускорений.
8. Формула Эйлера для поля скоростей. 
9. Формула Ривальса для поля ускорений.
10. Формула сложения угловых скоростей.
11. Поступательное, вращательное (вокруг неподвижной оси) и плоскопараллельное движения тела.
12. Мгновенный центр скоростей.
13. Лемма о скорости точки жесткой кривой в месте соприкосновения с неподвижной точкой.
14. Лемма о разности скоростей в месте соприкосновения проскальзывающих кривых.
15. Натуральные параметры кривых при качении без проскальзывания.
16. Изменение координат неподвижной точки относительно репера Френе.
17. Центроиды. Произвольное плоское движение как качение центроиды по центроиде.
18. Твердое тело с неподвижной точкой. Мгновенная ось вращения и аксоиды. Поведение аксоидов при движении.
19. Свободное твердое тело. Мгновенная винтовая ось и аксоиды как линейчатые поверхности. Поведение аксоидов при движении.
20. Общие формулы Кенига для линейных и билинейных динамических функций.
21. Формулы Кенига для динамических функций системы точек:
      радиус-вектор центра масс,
      импульс (количество движения),
      кинетический момент,
      кинетическая энергия,  
      вириал, полный момент инерции,
      момент инерции относительно оси,
      энергия ускорений.
22. Импульс, кинетический момент и кинетическая энергия твердого тела, выраженные через проекции угловой скорости в главных центральных осях и через главные центральные моменты инерции твердого тела.
23. Аналогичные формулы для тела с неподвижной точкой.
24. Кинетический момент как градиент кинетической энергии.
25. Осевые и центробежные моменты инерции твердого тела. Тензор инерции.
26. Эллипсоид инерции.
27. Неравенства треугольника. Условие, когда тело плоское.
28. Применение свойств симметрии при нахождении главных плоскостей и осей.
29. Сведение задачи о движении многих точек к задаче о движении одной точки суммарной массы в многомерном пространстве.
30. Теоремы об изменении
       импульса,
       кинетического момента
       и кинетической энергии
                    в абсолютном движении
                    и относительно осей Кенига.
31. Законы сохранения как следствия общих теорем.
32. Уравнения движения твердого тела.
33. Понятие эквивалентности систем сил, действующих на твердое тело. Приведение системы сил к точке.
34. Приведение сил тяжести к центру масс тела.
35. Твердое тело с неподвижной точкой. Уравнения Эйлера-Пуассона и их первые интегралы.
36. Волчок Эйлера. Геометрическая интерпретация Пуансо.
37. Фазовый портрет на поверхности энергии.
38. Перманентные вращения и регулярная прецессия в задаче Эйлера.
39. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Ее направляющие косинусы в главном репере для неподвижной точки и угол между кинетическим моментом и осью вращения.
40. Определение реакций при вращении вокруг неподвижной оси. Статические и динамические реакции.
41. Движение твердого тела по поверхности. Модели идеально гладкой и идеально шероховатой поверхностей.
42. Движение однородного шара по абсолютно шероховатой плоскости.
43. Модель сухого трения скольжения. Движение однородного шара по плоскости с сухим трением.
44. Два равносильных способа задавать геометрические (голономные) связи. Обобщенные (лагранжевы) координаты системы.
45. Общее понятие связи в аналитической механике, равносильные способы задания связей; классификация связей (связи геометрические и кинематические, стационарные и нестационарные, голономные и неголономные).
46. Псевдоскорости. 
47. Произвол при выборе реакций связей. Аксиома (модель) идеальных связей. Принцип наименьшего принуждения Гаусса.
48. Уравнения Аппеля и их общий вид.
49. Уравнение Аппеля для маятника переменной длины.
50. Виртуальные перемещения.  Элементарная работа заданных сил. Принцип Даламбера-Лагранжа для систем с идеальными связями.
51. Общие теоремы динамики как следствия принципа д'Аламбера-Лагранжа.  Действительные перемещения.
52. Уравнения с множителями Лагранжа для систем со связями.
53. Уравнения Лагранжа для систем с геометрическими связями и произвольными силами. Понятие обобщенной силы.
54. Корректность (равносильность при заменах переменных) лагранжевой формы уравнений движения.
55. Исчисление ковекторов. Общее понятие вариации функции, правило поглощения полной производной.
56. Вариация Эйлера-Лагранжа. Ковариантность вариации и вариации Эйлера-Лагранжа. Применение ковариантности.
57. Энергия ускорений для твердого тела.
58. Вывод уравнений Эйлера для вращения по инерции из уравнений Аппеля.
59. Вычисление элементарной работы заданных сил для твердого тела.
60. Явный вид уравнений Лагранжа для натуральной системы с одной степенью свободы.
61. Явный вид уравнений Лагранжа для натуральной (обратимой) системы со многими степенями свободы.
62. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно вторых производных по времени от обобщенных координат. Невырожденные лагранжианы.
63. Лагранжева форма уравнений движения для свободной точки. Уравнения Лагранжа в относительном движении: силы инерции и порождающий их лагранжиан.
64. Обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби-Пенлеве).
65. Уравнения Лагранжа в случае обобщенно-потенциальных сил, функция Лагранжа.
66. Обобщенный потенциал: он линеен по скоростям.
67. Структура обобщенно-потенциальных сил. Калибровка лагранжиана.
68. Циклические координаты и соответствующие им первые интегралы.
69. Интегралы импульса и кинетического момента, как примеры циклических интегралов.
70. Изменение функции Якоби-Пенлеве.
71. Гироскопические и диссипативные силы. Диссипативная функция Релея.
72. Уравнения Максвелла и обобщенный потенциал для силы Лоренца.
73. Уравнения равновесия в независимых лагранжевых координатах. Случай потенциальных сил.
74. Переход к каноническим импульсам (преобразование Лежандра и его обратимость).
75. Система уравнений движения в канонических переменных с произвольными силами.
76. Система уравнений Гамильтона.
77. Функция Гамильтона натуральной системы.
78. Простейшие первые интегралы гамильтоновых систем. Понижение порядка гамильтоновой системы с помощью циклических интегралов.
79. Отделение переменных в гамильтониане. Полное разделение переменных.
80. Метод Рауса игнорирования циклических координат. Приведенная система (уравнения Рауса).
81. Приведенная система и ее фазовый портрет в случае только одной нециклической координаты. Использование интегралов в случае, когда их число равно числу степеней свободы (интегрирование "в квадратурах").
82. Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову. Устойчивость линейных систем.
83. Теорема Ляпунова об устойчивости для автономных систем.
84. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости для автономных систем.
85. Теорема Четаева о неустойчивости для автономных систем.
86. Теоремы Ляпунова о неустойчивости для автономных систем.
87. Линеаризация автономных систем. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости (неустойчивости) по первому приближению.
88. Теорема Лагранжа-Дирихле об устойчивости для натуральных систем.
89. Теорема Рауса-Сальвадори об устойчивости стационарного движения.
90. Линеаризация уравнения Лагранжа в случае одной степени свободы.
91. Линеаризация уравнений Лагранжа натуральной системы в малой окрестности положения равновесия: характеристические уравнения и собственные векторы.
92. Нормальные (главные) координаты натуральной системы; невырожденные минимумы, седла и максимумы потенциальной энергии: соответствующий вид общего решения линеаризованной системы и качественная картина траекторий движения.
93. Достаточные условия неустойчивости положения равновесия натуральной системы.
94. Линеаризация уравнений Лагранжа в случае произвольного автономного лагранжиана.
95. Распределение собственных чисел линейной лагранжевой системы на комплексной плоскости.
96. Максимальное упрощение общей линейной лагранжевой системы в случае двух степеней свободы.
97. Явление гироскопической стабилизации в необратимых системах.
98. Общие линейные лагранжевы системы в случае трех степеней свободы. Простейшие утверждения об устойчивости в зависимости от степени неустойчивости по Пуанкаре.
99. Теоремы Кельвина-Четаева о сохранении устойчивости и о появлении асимптотической устойчивости.
100. Теоремы Кельвина-Четаева о сохранении неустойчивости.
101. Скобка Пуассона двух функций и ее свойства. Правило сложной производной. Теорема Якоби-Пуассона о первых интегралах.
102. Канонические преобразования (не зависящие от времени).  Сохранение канонической формы уравнений при канонических преобразованиях.
103. Критерии каноничности замены переменных (сохранение скобки Пуассона; симплектичность матрицы Якоби, сохранение симплектической структуры, интеграл по контуру).
104. Первообразная и производящая функция канонического преобразования.
105. Уравнение Гамильтона-Якоби для производящей функции канонической замены переменных.
106. Канонические полярные координаты. Интегрирование гармонического осциллятора методом Гамильтона-Якоби.
107. Тонкости решения уравнения Гамильтона-Якоби в случае одной степени свободы.
108. Отделение переменных.
109. Сложное разделение переменных. Понятие о переменных действие-угол.
110. Интегралы в инволюции и системы уравнений Гамильтона-Якоби.
111. Сведение неавтономной гамильтоновой системы к автономной.
112. Уравнения Уиттекера.
113. Замены времени в гамильтоновых системах.
114. Задание уровня энергии однозначно определяет траектории гамильтоновой системы. 
115. Преобразование функции Гамильтона при канонической замене переменных, зависящей от времени.
116. Классическое уравнение Гамильтона-Якоби и теорема Якоби о полном интеграле.
117. "Сверхлагранжиан".
118. Трубки тока в расширенном фазовом пространстве. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.
119. Каноничность фазового потока. 
120. Принцип Гамильтона: решения уравнений Лагранжа как экстремали функционала действия.
121. Принцип Гамильтона в форме Пуанкаре.
122. Принцип наименьшего действия в форме Якоби: траектории натуральной системы с заданной энергией как геодезические метрики Якоби.
123. Динамические системы с гладкой инвариантной мерой, теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.
124. Теорема Пуанкаре о возвращении.
125. Физический маятник. Вывод уравнения движения пятью способами:
         из общих теорем динамики (три варианта),
         из уравнений Лагранжа,
         из уравнений Гамильтона.
126. Приведенная длина и взаимность точки подвеса и центра качания (теорема Гюйгенса).
127. Сферический маятник. Качественное исследование движения.
128. Волчок Лагранжа. Вывод интегралов движения с помощью общих теорем динамики.
129. Волчок Лагранжа. Вывод интегралов движения с помощью теорем лагранжева формализма.
130. Качественное исследование движения волчка Лагранжа. Типы поведения оси динамической симметрии.
131. Регулярные прецессии.
132. Волчок Лагранжа. Приведение по Раусу.
133. Задача о движении электрона по сфере в поле магнитного заряда и постоянном электрическом поле как приведенная система для волчка Лагранжа.
134. Интегрирование задачи Кеплера в лагранжевых переменных.
135. Интегрирование задачи Кеплера методом Гамильтона-Якоби.
136. Плоская ограниченная круговая задача трех тел.
137. Точки либрации и их устойчивость.
138. Области Хилла.
139. Постановка задачи N тел. Первые интегралы движения.
140. Формула Лагранжа.
141. Треугольные лагранжевы решения неограниченной задачи трех тел.
142. Достаточное условие ограниченности движений в задаче трех тел (теорема Якоби).
143. Гравитационный потенциал твердого тела и его частные варианты.
144. Взаимозависимость движения тела относительно центра масс и орбитального движения.
145. Ограниченные постановки задач. Вращение твердого тела на круговой орбите, положения относительного равновесия тела.
146. Измененная потенциальная энергия первого приближения для относительного равновесия тела на круговой орбите. Заведомо устойчивые и заведомо неустойчивые положения относительного равновесия тела на орбите.
147. Лагранжиан первого приближения для относительного равновесия тела на круговой орбите.
148. Отделение уравнений плоских колебаний. Частота плоских колебаний.
149. Постановка задачи "тело-точка". Главный вектор сил тяготения.
150. Гравитационный момент, действующий на тело.

----------------------------------------------------------------------------------------
    На кафедре имеется общее мнение,
что необходимым условием получения положительной оценки на экзамене
за второй и третий семестры на отделении механики 
является осмысленный (включая решение простой задачи на тему) 
ответ на любой из нижеперечисленных вопросов. 
Эти вопросы на экзамене 2004/05 учебного года лектор решил НЕ включать в билеты,
исходя из того, что они не требуют подготовки.
   Определения скорости и ускорения точки. 
   Определение угловой скорости твердого тела.
   Теорема сложения скоростей, 
   теорема сложения ускорений (теорема Кориолиса), 
   теорема сложения угловых скоростей.
   Репер Френе (естественные оси), скорость и ускорение в репере Френе.
   Распределение (поле) скоростей в абсолютно твёрдом теле: формула Эйлера.
   Мгновенный центр скоростей в плоском движении твердого тела.
   Углы Эйлера для твердого тела с неподвижной точкой.
   Уравнения движения 
         гармонического осциллятора, 
         математического маятника.
   Фазовые портреты 
         гармонического осциллятора, 
         математического маятника.
   Определение первого интеграла уравнений движения.
   Уравнение движения точки в задаче Кеплера,
         первые интегралы в задаче Кеплера.
         орбиты в задаче Кеплера.
   Сведение задачи двух тел к задаче Кеплера.
   Определения центра масс, 
           импульса (количества движения), 
           кинетического момента, 
           кинетической энергии, 
           элементарной работы.
   Понятия внешних и внутренних сил.
   Теоремы об изменении 
           импульса (количества движения), 
           кинетического момента, 
           кинетической энергии. 
   Понятие элементарной работы (включая понятие обобщенной силы).
   Формулы Кенига для
           импульса (количества движения), 
           кинетического момента, 
           кинетической энергии, 
           энергии ускорений.
   Вычисление импульса, кинетического момента и кинетической энергии твердого тела
           с использованием главных центральных осей инерции.
   Понятия геометрических и кинематических связей; 
           лагранжевых (обобщенных) координат и псевдоскоростей.
   Определение виртуальных перемещений; 
   принцип Даламбера-Лагранжа как равносильная  формулировка принципа Гаусса.
   Выражение элементарной работы через обобщенные силы.
   Эквивалентные системы сил, действующие на твердое тело.
   Уравнения Лагранжа второго рода. Циклический интеграл. 
   Уравнения равновесия в лагранжевых координатах.
   Система канонических уравнений и их простейшие первые интегралы.
   Гамильтониан гармонического осциллятора.
   Решение уравнений движения осциллятора методом Гамильтона-Якоби.