Содержание экзамена по теоретической механике
на отделении механики в пятом семестре 
(выделены вопросы, владение которыми необходимо для удовлетворительной оценки -
но не следует думать, что этого же и достаточно, то есть об остальных вопросах можно не иметь никакого представления:
что именно достаточно, решать будет экзаменатор)

0. Размерно независимые величины и П-теорема.
1. Постановка задачи о математическом маятнике и о физическом маятнике.
2. Вывод уравнения колебаний физического маятника из теоремы об изменении кинетической энергии.
3. Вывод уравнения колебаний физического маятника из теоремы об изменении кинетического момента.
4. Вывод уравнения колебаний физического маятника из теорем, описывающих движение свободного твердого тела.
5. Фазовая плоскость и фазовый цилиндр.
6. Свойства фазовых кривых.
7. Уравнение Ньютона и выражение для реакции при движении по кривой без трения.
8. Линеаризация уравнения Ньютона. Пример: точка на окружности.
9. Гармонический осциллятор. Колебание груза на вертикальной пружине. Решение задачи Коши.
10. Решение задачи Коши и фазовый портрет движения под действием постоянной силы (силы тяжести).
11. Интеграл энергии для гармонического осциллятора. Фазовый портрет гармонического осциллятора.
12. Фазовый портрет движения под действием силы вязкого трения. Первый интеграл.
13. Решение задачи Коши для движения под действием силы тяжести и силы вязкого трения.
14. Фазовый портрет задачи Коши для движения под действием силы тяжести и силы вязкого трения.
15. Разложение решения уравнения Ньютона по формуле Тейлора и смещение точки при малом изменении времени.
16. Гармонический осциллятор с вязким трением: характерный параметр их соображений размерности, варианты расположения собственных чисел уравнения колебаний.
17. Гармонический осциллятор с вязким трением: фазовый портрет затухающих колебаний.
18. Гармонический осциллятор с вязким трением: фазовый портрет апериодического режима.
19. Фазовый портрет движения с упругой отталкивающей силой.
20. Фазовый портрет движения с упругой отталкивающей силой и вязким трением.
21. Реализация типов особых точек по Пуанкаре в линейных задачах динамики точки.
22. Резонанс для гармонического осциллятора с периодическим возбуждением.
23. Решение задачи Коши и предельный переход при частоте, стремящейся к резонансной.
24. Вынужденные колебания для осциллятора с вязким трением и периодическим возбуждением.
25. Амплитудно-частотная характеристика осциллятора с вязким трением с периодическим возбуждением. Точка максимума. График изменения амплитуды скорости вынужденного колебания в зависимости от частоты. Точка максимума.
26. Консервативные задачи: общие свойства фазовых кривых.
27. Этапы построения фазового портрета консервативной задачи. Характерные детали фазового портрета: особые точки вместе с окрестностью, сепаратрисы.
28. Свойство периодичности решений консервативных задач.
29. Вывод формулы движения гармонического осциллятора из интеграла энергии.
30. Области возможности движения для консервативной задачи. Точки остановки и равновесия.
31. Формула для периода в виде интеграла.
32. Лемма Морса и избавление от особенностей в формуле для периода вблизи невырожденного минимума потенциальной энергии.
33. Формула Линдштедта для периода колебаний с малой энергией.
34. Два способа задать связи: уравнениями и параметрически. Лагранжевы (обобщенные) координаты системы. Примеры и топологические комментарии к ним (окружность, сфера, тор, многообразие положений твердого тела)
35. Простейшие примеры идеальных связей.
36. Процедура получения уравнений Лагранжа для систем с идеальными связами и потенциальными силами.
37. Примеры применения уравнений Лагранжа (точка в пространстве, математический маятник).
38. Системы с одной степенью свободы: натуральный лагранжиан и соответствующее уравнение Лагранжа.
39. Исчисление ковекторов: изохронный дифференциал, вариация Рэлея-Четаева, вариация Гаусса-Аппеля, вариация Эйлера-Лагранжа.
40. Свойство ковариантности операций исчисления ковекторов.
41. Элементарная работа как вариация. Обобщенные силы
42. Аксиома идеальности связей для геометрических связей (в терминах уравнений Лагранжа).
43. Элементарная работа для твердого тела (с вариацией угловой скорости). Физический смысл обобщенных сил.
44. Теоремы об изменении импульса и кинетического момента в свете лагранжева формализма. Примеры.
45. Теорема об изменении кинетической энергии и ее обобщение в лагражевом формализме.
46. Общий вывод уравнений Лагранжа для потенциальных сил. Структура лагранжиана, циклических интегралов, интеграла "энергии" как функции скоростей.
47. Обобщенно-потенциальные силы. Выражение обобщенных сил. Расширение понятия лагранжиана. Калибровка.
48. Сила Лоренца. Ее обобщенный потенциал для постоянного электромагнитного поля.
49. Уравнения Максвелла в вакууме и обобщенная потенциальность силы Лоренца в общем случае.
50. Движение заряда в постоянном электрическом поле, в постоянном магнитном поле.
51. Движение заряда в постоянном электромагнитном поле, когда напряженность и индукция перпендикулярны. Эффект закручивания траекторий.
52. Аксиома освобождения от связей и элементарная работа реакций идеальных связей.
53. Физический смысл идеальности связей для твердого тела.
54. Трение скольжения вязкое и сухое.
55. Идеальность связей при качении.
56. Трение качения.
57. Сведение динамики системы к динамике одной точки в многомерном евклидовом пространстве.
58. Система уравнений движения голономной системы с неопределенными множителями. Вторая квадратичная форма как иллюстрация того, что "нормальная" составляющая реакции всегда вычисляется как функция состояния второй степени по скоростям.
59. Использование лагранжевых координат в уравнениях со множителями.
60. Кинематические связи. Система уравнений движения с неопределенными множителями (как определение идеальных связей).
61. Сани Чаплыгина и их движение по инерции.
62. Свойство неголономности связей и его доказательство на примерах.
63. Псевдоскорости на примерах и в общем виде.
64. Уравнения Маджи.
65. Виртуальные перемещения. Определение и обозначение Четаева.
66. Принцип д'Аламбера-Лагранжа (эквивалентное определение систем с идеальными связями).
67. Определение производной по (несуществующей!) псевдокоординате как производной вдоль векторного поля. Уравнения Больцмана.
68. Получение уравнений Эйлера из уравнений Больцмана.
69. Задача о качении шара по вращающейся плоскости.
70. Задача о качении вертикального диска по горизонтальной плоскости. Момент, удерживающий диск вертикальным.
71. Каноническая  (гамильтонова) форма уравнений движения. Функция Гамильтона (гамильтониан). Простые примеры гамильтонианов.
72. Малая теорема о равносильности систем уравнений Лагранжа и Гамильтона: для автономных натуральных систем. Обращение матрицы коэффициентов лагранжиана для получения гамильтониана, изменение знака перед потенциальной энергией.
73. Простейшие первые интегралы уравнений Гамильтона: циклический и сам гамильтониан. Параллели с лагранжевым формализмом.
74. Общая идея искусственного малого параметра для получения уравнения первого приближения вблизи особой точки системы дифференциальных уравнений.
75. Линеаризация уравнений Лагранжа для автономной натуральной системы. Равновесия - это критические точки потенциала. Общий вид лагранжиана первого приближения для натуральных систем.
76. Нормальная форма уравнений первого приближения для натуральных лагранжевых систем: два основных варианта поведения нормальной координаты.
77. Линеаризация уравнений Гамильтона. Расположение собственных чисел на комплексной плоскости.
78. Линеаризация уравнений Лагранжа для произвольного (автономного) лагранжиана. Общий вид лагранжиана первого приближения. Расположение собственных чисел на комплексной плоскости.
79. Понятие устойчивого и асимптотически устойчивого (и неустойчивого) равновесия автономной системы дифференциальных уравнений. Примеры.
80. Функция Ляпунова. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости.
81. Формулировка теоремы Ляпунова об устойчивости/неустойчивости по первому приближению.
82. Теорема Лагранжа-Дирихле об устойчивости в точке минимума потенциальной энергии натуральной системы.
83. Обращение теоремы Лагранжа-Дирихле для невырожденной критической точки потенциальной энергии.
84. Гироскопические силы. Силы, порожденные обобщенным потенциалом - гироскопические. Пример: сила Лоренца.
85. Диссипативные силы, порожденные функцией Рэлея. Случай полной диссипации. Примеры.
86. Сохранение устойчивости в точке минимума при добавлении гироскопических и диссипативных сил. Превращение устойчивости в асимптотическую в случае полной диссипации (без доказательства). Примеры.
87. Степень неустойчивости равновесия натуральной системы (в невырожденной критической точке потенциала).
88. Невозможность стабилизировать равновесие добавлением гироскопических и диссипативных сил в случае нечетной степени неустойчивости.
89. Возможность (при подходящих условиях) стабилизировать равновесие добавлением одних только гироскопических сил в случае четной степени неустойчивости: привести пример.
90. Разрушение гироскопической стабилизации при добавлении диссипативных сил (на примере).
91. Определение скобки Пуассона. Равносильные формы записи скобок Пуассона и уравнений Гамильтона.
92. Свойства скобок Пуассона. Координатные скобки.
93. Теорема Пуассона о скобке первых интегралов. Пример из динамики точки.
94. Функции в инволюции. Отделение переменных. Разделение переменных.
95. "Сверхлагранжиан", порождающий уравнения Гамильтона.
96. Определение канонического преобразования, не зависящего от времени (неизменность функции Гамильтона).
97. Критерий каноничности преобразования в терминах 1-форм.
98. Определение канонического преобразования, зависящего от времени. Критерий каноничности преобразования в терминах 1-форм. Изохронные вариации.
99. Критерий каноничности преобразования: матрица Якоби должна быть симплектической .
100. При транспонировании матрица остается симплектической.
101. Канонические преобразования плоскости. Введение канонических полярных координат, линейные преобразования.
102. Критерий каноничности преобразования в терминах скобок Пуассона.
103. Критерий каноничности преобразования в терминах матрицы координатных скобок.
104. Критерий каноничности преобразования в терминах 2-форм.
105. Критерий каноничности преобразования в терминах интегралов по контурам.
106. Производящая функция канонического преобразования, пригодная и для тождественного преобразования. Другие варианты производящей функции. Примеры.
107. Неавтономная гамильтонова система - это все равно, что гамильтонова система на фиксированном уровне энергии (уравнения Уиттекера и повышение порядка гамильтоновой системы).
108. Замена времени на уровне энергии гамильтоновой системы.
109. Задание уровня энергии однозначно определяет траектории гамильтоновой системы на нем.
110. Преобразование гамильтониана при неавтономном каноническом преобразовании: в исходных переменных (неудобная формула)
111. Уравнение Гамильтона-Якоби, связывающее производящую функцию неавтономного канонического преобразования, старый и новый гамильтонианы (неудобная формула, но в смешанных переменных).
112. Уравнение Гамильтона-Якоби для автономного канонического преобразования, выражающее равенство старого и нового гамильтонианов.
113. Исследование гармонического осциллятора применением гиперболического поворота и канонических полярных координат.
114. Новый гамильтониан при преобразовании уравнения Хилла применением гиперболического поворота, зависящего от времени.
115. Исследование гармонического осциллятора методом Гамильтона-Якоби.
116. Классическое уравнения Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби о полном интеграле.
117. Подбор полного интеграла для автономных систем, при наличии циклической переменной, при отделении переменных.
118. Общая формулировка теоремы о фазовых торах и переменных "действие-угол" (без доказательства).  Пример: простое (полное) разделение переменных.
119.Свойства переменных действие-угол в натуральной системе в одной степенью свободы.
120. Сложное разделение переменных. Первые интегралы и получение траекторий на уровне энергии.
121. Системы Лиувилля. Теорема о отображении траекторий на биллиард в прямоугольнике.
122. Принцип Гамильтона: решения уравнений Лагранжа как экстремали функционала действия.
123. Однопараметрические группы симметрий и теорема Нетер.
124. Принцип Гамильтона в форме Пуанкаре.
125. Трубки тока в расширенном фазовом пространстве. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.
126. Каноничность фазового потока гамильтоновой системы. 
127. Динамические системы с гладкой инвариантной мерой, теорема Лиувилля о сохранении фазового объема.
128. Теорема Пуанкаре о возвращении.
129. Преобразование Лежандра и его обратимость.
130. Большая теорема о равносильности систем уравнений Лагранжа и Гамильтона.
131. Метод Рауса игнорирования циклических координат. Приведенная система (уравнения Рауса).
132. Сферический маятник.  Качественное исследование движения. 
133. Волчок Лагранжа. Качественное исследование движения. 
134. Линейные  члены по скоростям в выражении функции Рауса.
135. Устойчивость спящего волчка.
136. Лагранжиан движения заряда по сфере в поле магнитного монополя.
137. Переменные действие-угол для движения  точки по сфере по инерции.

 

(Еще возможны мелкие коррективы, для замечаний обращайтесь, пожалуйста, в гостевую книгу))

 

На кафедре имеется общее мнение, что необходимым условием получения положительной оценки на экзаменах на отделении механики является осмысленный, включая решение простой задачи на тему, ответ на любой из нижеперечисленных вопросов (список охватывает все три семестра).

1. Определения скорости и ускорения точки.
     Определение угловой скорости твердого тела.

2. Теорема сложения скоростей,
     теорема сложения ускорений (теорема Кориолиса),
    теорема сложения угловых скоростей.

3. Репер Френе (естественные оси), скорость и ускорение в репере Френе.

4. Распределение (поле) скоростей в абсолютно твёрдом теле: формула Эйлера.

5. Мгновенный центр скоростей в плоском движении твердого тела.

6. Углы Эйлера для твердого тела с неподвижной точкой.

7. Уравнения движения
      гармонического осциллятора,
      математического маятника.
 

8. Фазовые портреты
      гармонического осциллятора,
      математического маятника.

9. Определение первого интеграла уравнений движения.

10. Уравнение движения точки в задаче Кеплера,
         первые интегралы в задаче Кеплера.
         орбиты в задаче Кеплера.
         сведение задачи двух тел к задаче Кеплера.

11. Определения центра масс,
          12) импульса (количества движения),
          13) кинетического момента,
          14) кинетической энергии,
          15) элементарной работы.

16. Внешние и внутренние силы.

17. Теорема об изменении
        импульса (количества движения),
        кинетического момента,
        кинетической энергии,
       элементарной работы.

18. Формула Кенига для
          импульса (количества движения),
          кинетического момента,
          кинетической энергии,
          энергии ускорений
19. Вычисление импульса, кинетического момента и кинетической энергии твердого тела
         с использование главного центральных осей инерции.

20. Геометрические и кинематические связи; лагранжевы координаты и псевдоскорости.

21. Принуждение по Гауссу как совокупная мера величины сил реакции.
        Идеальность связей как минимальность принуждения при фиксированном состоянии.
        Определение виртуальных перемещений;
        принцип Даламбера-Лагранжа как равносильная формулировка принципа Гаусса.

22. Выражение элементарной работы через обобщенные силы.

23. Эквивалентные системы сил, действующие на твердое тело.
          Выражение элементарной работы для сил, действующих на твердое тело

24. Уравнения Лагранжа второго рода. Циклический интеграл

25. Уравнения равновесия в лагранжевых координатах.

26. Система канонических уравнений и их простейшие первые интегралы.

27. Гамильтониан гармонического осциллятора.
          Решение уравнений движения осциллятора методом Гамильтона-Якоби.

НАЗАД   НАЗАД   НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД    НАЗАД