все письм.

Задачи на письменном этапе 24.01 были следующие (три из них уже опробованы раньше, их даже можно найти на сайте в материалах письменных этапов):

1. Написать общее выражение элементарной работы заданных сил, действующих на плоское твердое тело, движущееся в неподвижной плоскости.
2. Дан (в общем виде) автономный натуральный лагранжиан системы с двумя степенями свободы . Одна из координат - циклическая. Написать функцию Рауса.
3. Подобрать уравнение Гамильтона-Якоби так, чтобы его решение позволило получить производящую функцию канонических полярных координат на стандартной фазовой плоскости {p,q}.
4. Предложить функцию Ляпунова, доказывающую (асимптотическую) устойчивость осциллятора с вязким трением.

Суть дела:
1. Общая формула из лекций слегка упрощается: проекции суммы сил на ось z нету, а момент, наоборот, направлен только по оси z, кроме того, вариация угловой скорости заменяется на вариацию угла поворота.
2. Надо просто педантично применить операции, рассказанные на одной из декабрьских лекций. (И привести подобные члены, чего многие не делали, но мы задачу все равно засчитывали).
3. Надо было сопоставить два рассказа об интегировании гармонического осциллятора из лекций (одно и то же было получено двумя способами) . Ответ: это уравнение Гамильтона-Якоби для гармонического осциллятора (у которого массса и коэфиициент жесткости равны единице) .
4. Это полная энергия (сумма кинетической и потенциальной). Несколько иными словами об этом тоже говорилось на лекциях.

Я советовал: "Разберите самостоятельно эти задачи, это очень полезно." Но этому последовали далеко не все

Задачи на письменном этапе 28.01 были следующие:

"вариант с вариацией"

101. Написать выражение элементарной работы для плоского тведдого тела, движущегося в неподвижной плоскости под действием силы вязкого трения, относящейся к одной из точек тела (отмеченной).

102. Дан (в общем виде) автономный натуральный лагранжиан системы с двумя степенями свободы . Обе его координата - циклические. Написать интегралы движения. Найти общее решение уравнений Лагранжа. Написать гамильтониан. Написать уравнение Гамильтона-Я коби и решить его.

вариант "для начинающих":

11. Дана автономная натуральная лагранжева система с двумя степенями свободы. Одна из координат - циклическая. Написать уравнения первого приближения в окрестности положения равновесия и их нормальную форму.

12. Решить методом Гамильтона-Якоби задачу о гармоническом осцилляторе.

13. Используя подходящую функцию Ляпунова, доказать устойчивость осциллятора с вязким трением.

14. Волчок Лагранжа движется в отсутствие силы тяжести. Перечислить и выписать ВСЕ первые интегралы движения, которые можно получить по теореме Нетер и по теореме об изменении кинетической энергии.

Суть дела: N101 есть просто частный случай N1. Через x,y удобнее всего брать координаты отмеченной точки, тогда момент по оси z равен нулю, чего почти никто не заметил.
N102 - перепев задач 2 и 3, целиком подразумевающий знание простейшего лекционного материала. Решали многие.
В N11 один из корней характеристического уравнения равен нулю.
N 12 - упрощенная вариация N3 (простой лекционный материал).
N13 - повтор N4 в условиях, когда идея N4 была публично оглашена на сайте. Но и эту задачу написали не все. У меня есть вполне определенное мнение относительно желания учиться у тех, кто не написал.
N14 - трудная задача, так что в ней засчитывалось частичное продвижение, когда студент предъявлял два циклических интеграла и интеграл энергии. На самом деле из теоремы Нетер следуют еще два интеграла, ибо сохраняются проекции кинетического момента на все три неподвижные оси, а не только на ось z (один из циклических) . Получается вроде бы пять интегралов, но на самом деле энергия выражается через квадрат кинетического момента и квадрат второго циклического интеграла
(проекция момента на ось динамической симметрии). Додуматься до последней мысли - это уже высший пилотах, но когда она произнесена (только что), дойти до деталей уже можно.