АРХИВ, пригодный и на будущее

Вопросы в билеты кандидатского экзамена по специальности 01.02.01
(на основе, но не взамен официальной программы ВАК)

1. Естественный трехгранник .  Криволинейные координаты/
   • Скорость и ускорение точки в проекциях на естественные оси ее траектории (естественный трехгранник Дарбу, репер Френе). Кривизна и кручение кривой,  аппроксимация кривой соприкасающейся окружностью. Алгебраическая кривизна плоской кривой как производная угла поворота репере Френе по длине дуги.
   • Разложение скорости и ускорения в ортонормированном репере, соответствующем полярной, цилиндрической, сферической системе координат. Коэффициенты Ламе для ортогональной системы координат. Эллиптические (эллипсоидальные) координаты на плоскости и в пространстве.   
2. Определение твердого тела. Вектор угловой скорости.
   •  Задание движения тела (в котором есть три точки, не лежащие на одной прямой) при помощи ортонормированного репера, жестко с ним связанного; условие гладкости движения. Группа изометрий трехмерного евклидова пространства. Формула конечного поворота вокруг заданного единичного вектора на заданный угол. 
   • Тело кватернионов. Выражение поворота через кватернионы. Вычисление матрицы поворота через углы Эйлера, углы Крылова и через кватернионы.
   • Теорема: при движении тела в каждый момент времени существует и единствен вектор угловой скорости, а именно такой, что скорости для любых двух точек тела связаны ФОРМУЛОЙ ЭЙЛЕРА. Несколько эквивалентных определений вектора угловой скорости. В частном случае вращения вокруг неподвижной оси вектор угловой скорости равен единичному вектору оси вращения, умноженному на производную угла поворота по времени. Бесконечно малые перемещения твердого тела.
   • Угловая скорость координатных реперов цилиндрической и сферической системы координат. Угловая скорость  репера Френе.
3. Применение подвижных реперов.
   • Подвижный ортормированный репер, связь абсолютной и относительной производных вектора.
   • Сложное движение точки. Формула сложения скоростей. Формула сложения ускорений. 
   • Формула Ривальса для поля ускорений. Поступательное, вращательное (вокруг неподвижной оси) и плоскопараллельное движения тела. Формула сложения угловых скоростей.
   • Кинематика соприкасающихся плоских кривых, качение без проскальзывания. Мгновенный центр скоростей плоского тела и центроиды. Твердое тело с неподвижной точкой:  мгновенная ось вращения и аксоиды.
   • Свободное твердое тело. Мгновенная винтовая ось и аксоиды как линейчатые поверхности.  Взаимное перемещение аксоидов при движении твердого тела.
4. Основные подходы к динамике материальной точки.
   • Уравнение Ньютона для одной точки и постановки задач динамики. Потенциальные силы. Сила гравитационного притяжения. Сила Лоренца.
   • Модели для реакции связей, вязкое и сухое трение, использование репера Френе.
   • Преобразование системы уравнений Ньютона при переходе во вращающуюся систему отсчета. Силы инерции переносная и кориолисова.  Два слагаемых в силе тяжести на вращающейся Земле. Изменение относительной кинетической энергии.
5. Движение с одной степенью свободы:
   • УРАВНЕНИЕ НЬЮТОНА при движении по прямой. Фазовая плоскость. Разложение решения по формуле Тейлора (в окрестности начального момента времени) и основные свойства фазовых кривых. Автономные задачи. Состояния равновесия.  
   • Линейные задачи динамики точки на прямой и их фазовые портреты (центры, фокусы, узлы, седла). Гармонические и затухающие колебания. Отображение Пуанкаре (отображение последования) для затухающих колебаний; логарифмический декремент затухания. 
   • Необходимое и достаточное условие существования интеграла энергии для одномерного уравнения Ньютона. Устройство фазовых портретов консервативных задач (области возможности движения, симметрия фазовых траекторий, центры и седла соответствуют минимумам и максимумам потенциальной энергии; периодические решения, сепаратрисы). Техника интегрирования в квадратурах и ее применение в простейших случаях.
   • Теорема о приведении потенциальной энергии к степенной функции. Промежуточная фазовая плоскость и общие соображения о локальном поведении фазовых кривых. Понятие о бифуркационных диаграммах, когда потенциальная энергия зависит от параметра, о простейших наблюдениях теории катастроф.
   • Общая формула для периода колебаний в потенциальной яме. Вычисление периода колебаний с до квадрата малой энергии. Выражение периода через площадь внутри фазовой кривой на плоскости "координата-импульс". Переменные "действие-угол"  как  приведение дифференциальных уравнений консервативной системы  к  максимально  простому виду в области,  которая  содержит решения целиком.
   • Основные эффекты при возбуждении гармонического осциллятора  периодической силой: биения, раскачка; предельный переход в решении задачи Коши при стремлении вынуждающей частоты к собственной. 
   • Основные эффекты при возбуждении осциллятора с вязким трением периодической силой: вынужденные колебания как предел всех движений, амплитудно-частотная характеристика.
   • Уравнение движения маятника переменной длины и его приближенный вид для малых отклонений от вертикали. Отображение Пуанкаре за период возмущения. Явление параметрического резонанса (возможность неограниченного увеличения амплитуды  при сколь угодно малом периодическом изменении коэффициента  жесткости гармонического осциллятора).
   • Амплитудно-частотные характеристики нелинейных колебательных систем. Бифуркации стационарных состояний. Автоколебания как устойчивые предельные циклы на фазовой плоскости.
6. Некоторые задачи динамики точки.
   • Сферический маятник. Использование интегралов движения. 
   • Гармонический осциллятор на плоскости (это же - колебания с малой амплитудой сферического маятника). Картина траекторий бигармонического осциллятора (фигуры Лиссажу и их отображение на биллиард). Всюду плотность траекторий при иррациональном отношении частот.
   • Отклонение падающей точки от вертикали. Гармонический осциллятор в поворачивающихся осях (это же - колебания с малой амплитудой маятника Фуко)
   • Основные эффекты движения заряда в постоянном магнитном поле (покой, движение по окружности, по прямой и в общем случае по винтовой линии).  Исследование движения заряда в постоянном электромагнитном поле, когда векторы напряженности электрического поля и индукции магнитного поля перпендикулярны.
7. Меры движения механической системы. 
   • Формулы Кенига для динамических функций системы точек: радиус-вектор центра масс, импульс (количество движения), кинетический момент (момент количеств движения), кинетическая энергия (живая сила),  вириал, полный момент инерции, момент инерции относительно оси, энергия ускорений.
   • Специфика твердого тела: кинетический момент и кинетическая энергия твердого тела, выраженные через проекции угловой скорости в главных центральных осях и через главные центральные моменты инерции твердого тела, аналогичные формулы для тела с неподвижной точкой, кинетический момент как градиент кинетической энергии;
   • тензор инерции, осевые и центробежные моменты инерции твердого тела,  эллипсоид инерции, неравенства треугольника, моменты инерции плоского тела, применение свойств симметрии при нахождении главных плоскостей и осей.
8. Основные подходы к динамике нескольких материальных точек.
   • Два равносильных способа задавать геометрические (голономные) связи, обобщенные (лагранжевы) координаты системы.
   • Общее понятие связи в аналитической механике, равносильные способы задания кинематических связей; классификация связей, характерные свойства неголономных связей; псевдоскорости.
   • Система уравнений Ньютона, теоремы об изменении  импульса,  кинетического момента  и кинетической энергии в абсолютном движении, влияние внутренних и внешних сил, модель твердого тела.
   • Задача двух тел: cведение  задачи двух тел к задаче Кеплера, интегралы задачи Кеплера, классификация траекторий; законы Кеплера для эллиптических траекторий, основная задача внешней баллистики.
   • Теоремы кинетического момента  и кинетической энергии относительно осей Кенига. Законы сохранения как следствия общих теорем.
   • Уравнения движения свободного твердого тела. Понятие эквивалентности систем сил, действующих на твердое тело. Приведение системы сил к точке. Приведение сил тяжести к центру масс тела.
   • Движение твердого тела по поверхности. Приведение сил воздействия опоры к точке соприкосновения. Трение скольжения, качения, верчения.  Модели идеально гладкой и идеально шероховатой поверхностей.
   • Уравнения Эйлера-Пуассона для тела с неподвижной точкой или для вращения вокруг центра масс.
9. Простые задачи динамики твердого тела.
   • Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.  Определение реакций. Физический маятник. Приведенная длина и центр качания. Теорема Гюйгенса.
   • Движение однородного шара по шероховатой плоскости. Модель сухого трения скольжения. Движение однородного шара по плоскости с сухим трением.
   • Волчок Эйлера.  Фазовый портрет на уровне интеграла энергии уравнений Эйлера-Пуассона. Перманентные вращения.  Геометрическая интерпретация Пуансо.  Регулярная прецессия.
   • Волчок Лагранжа. Интегралы движения. Качественное исследование движения. Спящий волчок. Псевдорегулярная прецессия.
   • Гироскопический эффект. Приближенные уравнения движения гироскопа. Гироскоп в кардановом подвесе
   • Сани Чаплыгина на горизонтальной и насклонной плоскости.
10. Модель идеальных связей для нескольких точек и твердых тел.
    • Принцип наименьшего принуждения Гаусса. Энергия ускорений для твердого тела.
    • Уравнения Аппеля и их общий вид. Примеры. Вывод уравнений Эйлера для вращения инерции из уравнений Аппеля.
    • Виртуальные перемещения.  Элементарная работа заданных сил. Вычисление элементарной работы заданных сил для твердого тела.
    • Принцип Даламбера-Лагранжа. Общие теоремы динамики как следствия принципа д'Аламбера-Лагранжа.  Действительные перемещения. Уравнения с множителями Лагранжа для систем со связями.
    • Уравнения Лагранжа для систем с геометрическими связями и произвольными силами. Понятие обобщенной силы. Корректность (равносильность при заменах переменных, ковариантность) лагранжевой формы уравнений движения.
11. Применение лагранжевой формы уравнений движения:
    • Явный вид уравнений Лагранжа для натуральной системы с одной степенью свободы. Явный вид уравнений Лагранжа для натуральной (обратимой) системы со многими степенями свободы. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно вторых производных по времени от обобщенных координат. Невырожденные лагранжианы.
    • Циклические координаты и соответствующие им первые интегралы. Интегралы импульса и кинетического момента, как примеры циклических интегралов. Метод Рауса игнорирования циклических координат. Приведенная система (уравнения Рауса).
    • Приведенная (автономная) система и ее фазовый портрет в случае единственной нециклической координаты. Использование интегралов в случае, когда их число равно числу степеней свободы (интегрирование "в квадратурах").
    • Обобщенный потенциал: он линеен по скоростям. Уравнения Лагранжа в случае обобщенно-потенциальных сил, функция Лагранжа.
    • Три источника линейных слагаемых в лагранжиане:
          электромагнитные силы,
          применение вращающихся систем координат,
          исключение циклических переменных
    • Изменение кинетической энергии, функции Якоби-Пенлеве. Гироскопические и диссипативные силы. Диссипативная функция Релея. Обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби-Пенлеве).
    • Уравнения Максвелла и обобщенный потенциал для силы Лоренца.
    • Уравнения равновесия в независимых лагранжевых координатах. Случай потенциальных сил.
    • Линеаризация уравнений Лагранжа в малой окрестности положения равновесия: характеристическое уравнение и собственные векторы. Нормальные (главные) координаты линеаризованной натуральной системы; невырожденные минимумы, седла и максимумы потенциальной энергии - соответствующий вид общего решения линеаризованной системы и качественная картина траекторий движения.
12. Основы теории устойчивости
    • Понятие устойчивости и асимптотической устойчивости по Ляпунову.
    • Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости движения (для автономных  систем). 
    • Теоремы Ляпунова о неустойчивости.
    • Устойчивость линейных систем. Линеаризация автономных систем дифференциальных уравнений.
    • Построение функции с заданной полной производной в силу нелинейной системы; случай однородных форм.
    • Теоремы об устойчивости и неустойчивости по первому приближению. Критерий Рауса-Гурвица.  
    • Критерии Михайлова и Найквиста. Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость равновесия.
    • Некоторые теоремы о критических случаях.
    • Обобщение определений и теорем Ляпунова на неавтономные системы.
    • Теорема Четаева о неустойчивости.
    • Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия (два доказательства). Обратное утверждение в случае невырожденного равновесия.
    • Другие случаи обращения теоремы Лагранжа.
    • Коэффициенты устойчивости Пуанкаре. Закон смены устойчивости. Примеры бифуркационных диаграмм.
13. Гамильтонова механика
    • Переход к каноническим импульсам (преобразование Лежандра и его обратимость). Система уравнений движения в канонических переменных с произвольными силами. Система уравнений Гамильтона. Функция Гамильтона натуральной системы. Простейшие первые интегралы гамильтоновых систем. Понижение порядка гамильтоновой системы с помощью циклических интегралов. Отделение переменных в гамильтониане. Полное разделение переменных.
    • Общие свойства линейных гамильтоновых систем. Невозможность асимптотической устойчивости в гамильтоновых системах; четность характеристического многочлена.
    • Скобка Пуассона двух функций и ее свойства. Теорема Якоби-Пуассона о первых интегралах.
    • Симплектическая структура на многообразии. Критерий  перестановочности двух фазовых потоков. Гамильтоновы векторные поля и условия их коммутируемости.
    • Канонические преобразования (несколько равносильных определений). Сохранение канонической формы уравнений при канонических преобразованиях. Критерии каноничности замены переменных (сохранение скобки Пуассона; сохранение симплектической структуры), критерии каноничности в случае одной степени свободы.  Первообразная и производящая функция. Канонические полярные координаты. Преобразование аналитического выражения функции Гамильтона при канонической замене переменных.
    • Уравнения Гамильтона-Якоби для производящей функции канонической замены переменных.  Отделение переменных. Сложное разделение переменных. Интегралы в инволюции и системы уравнений для производящей функции. Интегрирование уравнений движения гармонического осциллятора методом Гамильтона-Якоби. Интегрирование задачи Кеплера методом Гамильтона-Якоби.
    • Сведение неавтономной гамильтоновой системы к автономной. Уравнение Гамильтона-Якоби (содержащее время) и теорема Якоби о полном интеграле.
    • Трубки тока в расширенном фазовом пространстве. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Каноничность фазового потока. 
    • Уравнения Уиттекера. Замены времени в гамильтоновых системах. Задание уровня энергии однозначно определяет траектории гамильтоновой системы. 
    • Принцип Гамильтона: решения уравнений Лагранжа как экстремали функционала действия. Принцип Гамильтона в форме Пуанкаре. Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа и в форме Якоби: траектории натуральной системы с заданной энергией как геодезические метрики Якоби.
    • Однопараметрические группы симметрий и теорема Нетер.
    • Динамические системы с гладкой инвариантной мерой, множитель Якоби, теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Теорема Пуанкаре о возвращении.
    • Интегралы в инволюции. Примеры таких интегралов. Теорема Лиувилля о полной интегрируемости.  Теорема о фазовых торах. Переменные действие-угол. Существование таких переменных в случае одной степени свободы.
    • Нормализация уравнений Гамильтона в окрестности состояния равновесия, преобразование Биркгофа.
14. Элементы небесной механики.
    • Канонические оскулирующие элементы в задаче Кеплера.
    • Плоская ограниченная круговая задача трех тел. Точки либрации и их устойчивость. Области Хилла.
    • Постановка задачи N тел. Первые интегралы движения. Формула Лагранжа. Треугольные лагранжевы решения неограниченной задачи трех тел. Достаточное условие ограниченности движений в задаче трех тел (теорема Якоби).
    • Постановка задачи "тело-точка". Главный вектор сил тяготения. Гравитационный момент, действующий на тело. Гравитационный потенциал твердого тела и его частные варианты. Взаимозависимость движения тела относительно центра масс и орбитального движения.
    • Ограниченные постановки задач. Вращение твердого тела на круговой орбите, положения относительного равновесия тела. Заведомо устойчивые и заведомо неустойчивые положения относительного равновесия тела на орбите. Уравнение плоских колебаний тела на круговой орбите. Частота малых плоских колебаний. 
15. Нормальные формы Пуанкаре системы дифференциальных уравнений в окрестности особой точки.
16. Понятие о методах осреднения.
17. Принцип максимума Понтрягина.   Метод динамического программирования Беллмана. Связь принципа максимума с методом Беллмана.

Опыт показывает, что аспиранты побаиваются задач (и правильно). Прорабатывать их (задачи? конечно..., впрочем, ... ...) надо потому, что после самостоятельного решения задач теория становится намного более осязаемой. Можно даже больше сказать: идеи теоретических походов корнями сидят в задачах - не тех, правда, которые в задачниках написаны, но все равно во вполне частых задачах. Или - тоже возможный вариант - идеи теоретических походов хорошо иллюстрируются на модельных задачах, хоть и позже придуманных, но очень выразительных.

   На этой страницы дана подборка задач с решениями. Как исходный материал для последующего самостоятельного решения задач. Источники задач (с решениями выделены):

Я.В.Татаринов. Лекции по классической динамике. М.: Изд-во МГУ. 1984. [постранично *.pdf]
КИНЕМАТИКА: 111-112, 200-202 (примеры), 200-203 (задачи)
ДИНАМИКА ТОЧКИ: 14-19, 35, 36-37, 45, 161, 163, 206-207, 207,
ДИНАМИКА СИCТЕМЫ: 112-119, 220-221, 222, 224, 225, 225
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА: 231-232, 234-235, 239, 240, 260-262, 268, 268-269.

А.П.Маркеев. Теоретическая механика. М.: Наука, 1999 и последующие издания.
КИНЕМАТИКА: 22, 24, 63, 68-69, 75-76,
ВИРТУАЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ и элементарная работа: 99-100, 118-120; ПРИНЦИП ГАУССА: 100-109
ДИНАМИКА СИCТЕМЫ: 128-130, 141-143, 158-159, 162-164, 168-170, 208-210, 219-221, 270-271, 505-506
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА: 356-358, 366-367.

Ю.Ф.Голубев. Основы теоретической механики. М.: Изд-во МГУ. 2000.
КИНЕМАТИКА: 78, 80, 148, 63, 68-69,
ДИНАМИКА ТОЧКИ: 185-188, 213-230, 277-280,
ДИНАМИКА СИCТЕМЫ: 66-72, 165-169, 358-359, 382-383, 387-389, 467-462, 545-546, 576-580,
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА: 651-653, 689-690,

Я.В.Татаринов. Методическое пособие по аналитической механике. 1999.
Задачи 112, 113, 116с, 124, 131, 140, 145, 155, 159b, 161, 171a,
201а, 202a, 205е, 206d, 207b, 305a, 316, 319, 323, 324, 328, 334, 343, 410, 422, 428.

Банк задач:

[1] Задачи по классической механике. М.: Изд-во Механико-математического факультета, 2001.
[2] Задачник по аналитической механике. М.: Изд-во Механико-математического факультета, 2004.