2002 год; СОДЕРЖАНИЕ КУРСА АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ

Общая идея курса: показать, как созданное классиками виртуозное сочетание идей анализа, теории дифференциальных уравнений и дифференциальной геометрии позволяет выписывать и упрощать уравнения движения механических систем. Только не надо заключать по этой фразе, что теория идет непременно впереди приложений. Интеллектуальный вызов от какой-то задачи астрономии, механики, физики исторически был изначальным и нередко ведущим побудительным мотивом находить новые идеи в математике. Это теперь на доске расписаний мы видим дисциплины, преподаваемые раньше своих приложений и читаемые разными кафедрами да с разных отделений - а раньше математикой, механикой и астрономией занимались одни и те же люди, и они не считали, что чередуют занятия раздельными науками.

ЛИТЕРАТУРА:
[А] В.И.Арнольд. Математические методы классической механики. [Влияние этой книги заслуженно велико, но не следует полагать, что в ней "все есть". Ниже опущены все возможные ссылки на эту книгу по гамильтонову формализму, так как их оказалось бы много и пришлось бы освещать все отличия в последовательности изложения.]
[Б] Е.Н.Березкин. Курс теоретической механики. [Весьма точное изложение курса по методике Н.Г.Четаева, которая является основной на нашей кафедре.]
[1] Ф.Р.Гантмахер. Лекции по аналитической механике. [Превосходно написанная книга.]
[2] А.П.Маркеев. Теоретическая механика. [Предмет представлен на современном уровне, терминологически выверенно и "общеприемлемо" для механиков разных специальностей.]
[3!] Я.В.Татаринов. Лекции по классической динамике.
[3a] Материалы для 3 курса отделения механики (1 семестр): ttrnv.narod.ru/ttrnv3a.zip
[3b] Материалы для 3 курса отделения механики (2 семестр): ttrnv.narod.ru/ttrnv3b.zip

В аналитической механике основное внимание уделяется таким дифференциальным уравнениям, которые порождаются одной ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИЕЙ - а именно, уравнения получаются применением к этой функции некоторого набора операций. Как вычисляются уравнения Лагранжа, от каких переменных зависит функция Лагранжа (лагранжиан)? Какой порядок имеют уравнения Лагранжа? Что такое невырожденность лагранжиана и для чего она требуется? Как вычисляются уравнения Гамильтона, от каких переменных зависит функция Гамильтона (гамильтониан)?	[1] § 11, §12 ; [2] пп. 138, 149 ; [3!] §15, §16 [3a] §1
Циклические координаты и соответствующие им первые интегралы в лагранжевом и гамильтоновом формализме. Интегралы импульса и кинетического момента, как пример циклических интегралов.	[1] §14; [2] пп. 164,165; [3!] §15 , конец темы 13
Какой вид имеет так называемый интеграл энергии, если лагранжиан или гамильтониан не зависит от времени? Показать на примерах, что лагранжиан - разность энергий, а интеграл энергии и гамильтониан - сумма ("натуральные системы").	[1] §6, §12; [2] пп. 142, 151; [3!] тема 11;
Переход от уравнений Лагранжа к уравнениям Гамильтона (равносильность этих уравнений в силу преобразования Лежандра); функция Гамильтона или гамильтониан лагранжевой системы - это полная энергия, в которой скорости выражены через обобщенные импульсы.	[1] §§12,6,7; [2] пп. 148-151; [3!] §16; тема 17 ; Этот материал в основном рассматривался на семинарах. Доказательство равносильности двух форм уравнений движения одинаково во всех учебниках. См. там.
Гамильтониан натуральной системы имеет матрицу коэффициентов, обратную к матрице коэффициентов из лагранжиана, и является суммой кинетической и потенциальной энергии. Примеры: гамильтониан гармонического осциллятора и задачи Кеплера.
Понятие связи в аналитической механике как ограничения в пространстве положений или в пространстве состояний. ДВА РАВНОЦЕННЫХ ПОДХОДА К ЗАДАНИЮ СВЯЗЕЙ НА ПЕРЕМЕННЫЕ: (1) ограничивающие уравнения и (2) параметрические выражения. С какими оговорками и уточнениями они равносильны, в чем их различие? Геометрические и кинематические связи, голономные и неголономные; отличия в понимании этих понятий, вызванные возможностью интегрировать некоторые ограничения на скорости.	[1] §§ 1 [2] пп. 10,11 [3a] §1
Операции с дифференциальными формами специального вида, порожденными функциями; ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ВАРИАЦИИ ФУНКЦИИ; неизменность вариации после взятия полной производной функции; лагранжева вариация функции.	[3a] §1, §6
Идея ковариантности: правила вычисления форм и подстановки новых переменных ПЕРЕСТАНОВОЧНЫ.	[3a] §1, §6 Некоторые детали изложения отсутствуют или не высвечены в стандартных учебниках
Уравнения Ньютона для системы свободных материальных материальных точек в лагранжевом представлении; элементарная работа сил.	[3a] §8
Идея "изначальной" кинетической энергии и элементарной работы. Принцип Д'Аламбера-Лагранжа для систем со связями при абстрактном определении множества виртуальных перемещений в любом состоянии, разрешенном связями.	[3a] §8 Упомянутое "абстрактное определение" в учебниках отсутствует; надо читать именно лекции этого семестра. Стандартное изложение принципа можно найти в [Б].
Векторы скорости и действительные перемещения. Общая теорема об изменении кинетической энергии и о существовании интеграла энергии. Частный случай системы точек в трехмерном пространстве со стационарными связями.	[3a] §8 ; соответствующий стандартный материал см. в [Б].
Стандартное определение виртуальных перемещений для голономных связей, вывод уравнений Лагранжа второго рода. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно вторых производных по времени от обобщенных координат.	[1] §§ 2,3,4,11; [2] пп. 12-16, 56,57, 138, 145 [3!] §13, §15; [3a] §0,§1 §11;
Явный вид уравнений Лагранжа для натуральных систем. Движение по инерции (без потенциала) происходит по геодезическим римановой метрики.
Потенциальные и обобщенно-потециальные силы. Обобщенный потенциал. Структура обобщенно-потенциальных сил. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных и обобщенно-потенциальных сил, функция Лагранжа. Интеграл энергии и обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби). Почему общий термин "интеграл энергии" не совсем точен?
Стандартное определение виртуальных перемещений для неголономных связей. Общие теоремы динамики как следствия принципа Д'Аламбера-Лагранжа.	[1] §§ 2,3,4; [2] пп. 12-16, 56,57; [3a] §0,§11 ; нужные формулировки общих теорем динамики см. также в [Б]
Линеаризация уравнений Лагранжа в малой окрестности положения равновесия. Вид общего решения линеаризованной системы. Нормальные (главные) координаты системы.	[A] §20; [1] §§40,41; [2] пп. 228,229; [3!] тема 12 (см. также §7, стр.36) Этот материал полностью рассматривался на семинарах. Его изложение неодинаково, но равносильно во всех учебниках. Читать и сдавать с доказательствами вместе.
Дифференциальные уравнения, векторные поля и однопараметрические группы - взаимозаменимые объекты. Распространение действия однопараметрической группы с пространства положений на пространство состояний.	[A] §20; [3a] §10; Общепринятые формулировки общих теорем динамики см. в [Б]
Группа симметрий автономной лагранжевой системы; условие инвариантности лагранжиана. Интеграл Нетер.
Теорема о существовании циклической координаты при наличии интерала Нетер.
Момент обобщенных сил относительно векторного поля и момент обобщенных импульсов относительно него: общая теорема об изменении момента. Получение общепринятых теорем об изменении импульса и кинетического момента из этой общей теоремы.
Выражение элементарной работы для свободного твердого тела с участием вариации угловой скорости. Применение углов Эйлера.	[1] §5 ; [3a] §5 ; Умение непосредственно работать с моделью твердого тела принципиально; тем не менее именно этот аспект глухо представлен в учебниках;
Два фазовых потока перестановочны тогда и только тогда, когда коммутатор порождающих векторных полей равен нулю.	[3a] §9 В лекциях эти теоремы формально доказаны для размерности три. Главная идея доказательства - применение удобных координат. Запрашивать доказательство в общем виде лектор считает правомерным, если речь идет об отличной оценке, особенно для студентов геометрических кафедр.
Аналитические условия интегрируемости системы дифференциальных связей (теорема Фробениуса).
Геометрический способ доказательства неинтегрируемости системы дифференциальных связей (с примером: сани Чаплыгина) .
Симплектическая единица. Векторная форма канонических уравнений. Автономные замены переменных, сохраняющие такую форму (канонические): их матрицы Якоби - симплектические. После транспонирования матрица остается симплектической. Групповые свойства канонических преобразований. Линейные канонические преобразования плоскости, канонические полярные координаты.	[1] §31; [2] п. 168; [3!] §17 (стр. 236-238) [3b] лекция 6 Внимание! В книгах [1] и [2] используется несколько более общее понятие канонического преобразования (с валентностью), нежели в [А],[Б] и лекциях.
Скобка Пуассона двух функций и ее свойства. Полная производная функции в силу гамильтоновой системы; автономный и неавтономный случай. Теорема Якоби-Пуассона о первых интегралах.	[1] §15; [2] пп. 166,167; [3!] §16,18; , тема 17 [3b] лекция 7
Гамильтоновы векторные поля и условия их коммутируемости. Разложениe Тейлора для действия фазового потока на функцию.
Общая формула дифференцирования по параметру интеграла функции состояния при варьровании кривой. Функционал действия и принцип Гамильтона (принцип экстремальности действия) для лагранжевых систем.	[A] §12 ; [1] §§16,17; [3!] §6; , тема 13 [3b] конец лекции 7 и лекция 8
В каком смысле можно говорить, что уравнения Гамильтона имеют лагранжев вид? Принцип Гамильтона для канонических систем. Сопоставление вариаций в этом и лагранжевом случае.
Калибровка лагранжиана. Два способа доказать, что прибавление полной производной функции положения и времени не изменяет уравнения Лагранжа.	[2] пп. 141 [3!] темы 11 и 13 [3b] лекция
Два способа доказать, что подстановка замены переменных в лагранжиан приводит к равносильным уравнениям Лагранжа.	[2] пп. 141 [3!] темы 11 и 13 [3b] лекция
Понижение порядка по Раусу, согласно которому у движения с заданной постоянной этого интеграла можно отбросить последнюю (циклическую) координату, после чего усеченный набор будет решением новой лагранжевой системы: эту систему порождает так называемая функция Рауса.	[1] §13,§48; [2] пп.153,164,165; [3!] §15 (см. также конец темы 13) Теорема Рауса в лекциях выводилась из принципа Гамильтона; стандартный вывод следует освоить самостоятельно.
Трубки тока в расширенном фазовом пространстве. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.	[1] §18 [3b] лекция 9
Критерий каноничности замены переменных в терминах инвариантности скобки Пуассона.	[1] §32 [2] п. 169 [3!] §20
Критерий каноничности замены переменных в терминах 1-форм.
Критерий каноничности замены переменных в терминах 2-форм.
Как определяется неавтономное каноническое преобразование?
Фазовый поток автономных гамильтоновых систем состоит из канонических преобразований (доказательство через инвариантность скобки Пуассона).	[1] §24; [2] пп. 171 [3!] §20 [3b] лекция 9
Сдвиг по времени вдоль решений неавтономных гамильтоновых систем состоит из канонических преобразований (доказательство с помощью инварианта Пуанкаре-Картана).	[1] §24; [2] пп. 171 [3!] §20 [3b] лекция 9
Сведение неавтономной гамильтоновой системы к автономной размерности на две единицы больше, но с несущественной постоянной энергии. Понижение порядка системы канонических уравнений на фиксированном уровне энергии (уравнения Уиттекера).	[1] §§20; [2] п. 152 152; [3!] §21 [3b] лекция 8
Расположение неособого уровня энергии в фазовом пространстве полностью определяет расположение тракторий на нем.	[1] §§20; [2] п. 152 152; [3!] §21 [3b] лекция 8
Первообразная и производящая функции канонического преобразования. Лемма Каратеодори (формулировка). Сохранение и преобразование функции Гамильтона при автономном и неавтономном каноническом преобразовании.	[1] §§24,25; [2] пп. 168-174; [3!] §19, §20 [3b] лекции 10,11 Доказательство леммы Каратеодори - для отличников кафедры алгебры. Неавтономный гамильтониан в лекциях преобразовывался только в нуль. Найти общее правило преобразования - упражнение.
Различные варианты уравнения Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби об интегрировании канонических уравнений.	[1] §26; [2] пп. 175-179; [3!] §§20,21; тема 18 [3b] лекция 11
Отделение переменных и сложное разделение переменных. Соответствующие интегралы уравнений Гамильтона.
Интегрирование уравнений Гамильтона в случае одной степени свободы. Гармонический осциллятор.
Интегралы в инволюции. Примеры таких интегралов. Лемма о пополнении.	[2] пп. 180,181,183; [3!] §§18-20, [3b] лекция 12 стр.264-268,
Теорема о фазовых торах (связные компактные компоненты совместных уровней независимых функций в инволюции).
Теорема о существовании переменных "действие-угол" для систем с полным набором интегралов в инволюции; Вид общего решения гамильтоновой системы в этих переменных.
Уравнения движения неголономных систем c неопределенными множителями. Уравнения в форме Маджи.	[2] п.155 ; в лекциях на эту тему есть материал, который в учебниках не найти
Уравнения движения в форме Больцмана (в псевдокоординатах).
Случай натуральных систем со стационарными линейными связами. Интерпретация уравнений движения в терминах подвижного репера. Члены неголономности в уравнениях движения.
Движение саней Чаплыгина по наклонной плоскости.

В приведенных ссылках на книги и конспекты фигурирует не все сказанное на лекциях!

Кроме того, стандартные словесные обороты учебников и программ отражают содержание предмета верно, но неравномерно. Часть существенных и понятных профессионалам идей отчетливо не произносятся вслух. Поэтому некоторые акценты, расставленные в лекциях, только из них и можно извлечь.

НАЗАД НАЗАД НАЗАД НАЗАД НАЗАД НАЗАД НАЗАД НАЗАД