obraztzy.html

ОБРАЗЦЫ ЗАДАНИЙ для письменного этапа

экзамена ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ в 2002/2003 учебном году

Дана кривая $r = r(s)$ в плоскости $x, y,$ где $s$ – натуральный параметр (длина дуги). По этой кривой в поле с потенциалом $V (x,y)$ движется масса $m.$ Известно, что $w$ – частота малых колебаний в точке кривой с координатами $(0,0)$ и что кривая $r = r(s)$ в этой точке касается оси $x.$ Найти радиус кривизны кривой в этой точке.
Электрический заряд движется в постоянном электромагнитном поле, то есть $E = Eez$ и $B = Bez.$ Выписать существующие первые интегралы.
Найти все такие $f(r,s),$ что замена $V~ --- p = 2rcos s, q = f(r,s)$ задает каноническое пробразование.
Написать производящую функцию линейной канонической замены
в следующих случаях:
1. эта замена есть обычный поворот;
2. эта замена есть гиперболический поворот.
Что можно сказать о собственных числах линейной канонической системы на плоскости $2 IR (p, q)$ , если у нее есть циклический интеграл? Нарисовать фазовый портрет такой системы.
Найти собственные числа и нарисовать фазовые портреты двух систем с $1 H = 2(p2 + bq2),$ которые одной-единственной линейной канонической заменой приводятся к виду $H = x(j2 ± q2)/2$ . Величина $x$ считается заданной.
Нарисовать рядом и сравнить фазовые портреты с гамильтонианами $H1 = xjq$ и $H2 = (xjq)2$ написать решения соответствующих уравнений Гамильтона с начальными условиями $j = q = a > 0$ .
Какая замена переменных $(p,q) '--> (r,s mod 2p)$ приводит гамильтониан $H = 1(p2 + w2q2)2 4$ к виду $H = Н (r)$ ? Уточнить этот вид. Написать общее решение соответствующих уравнений Гамильтона.
Ввести переменные "действие-угол" в канонической системе с $2 2 2 H = (17p - 30pq + 17q )$ .
Изобразить на плоскости $q1,q2$ траектории системы с гамильтонианом $1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 H = 4(j1 + w1q1) - 4(j2 + w2q1)$ . Укладываются ли ее траектории в фазовом пространстве на некоторые двумерные торы (вообще говоря)?
Точка единичной массы движется в поле с потенциалом .
1. Записать гамильтониан в полярных координатах и получить циклический интеграл $Lambdaz$ и интеграл энергии $\text{[math]}$ .
2. При каких $n$ совместные уровни названных интегралов в фазовом пространстве могут оказаться торами?
Какой гамильтониан отвечает лагранжиану $2 2 2 2L = x + y + xy - yx - x ?$ Переписать лагранжиан и гамильтониан с привлечением (обычных!) полярных координат.
Уравнения натуральной системы после разрешения относительно старших производных должны (мы так хотим) иметь правые части класса $Ck$ в области определения. Какой гладкости следует потребовать от лагранжиана?
Среди элементов матрицы кинетической энергии системы с $n$ степенями свободы только $n$ отличны от нуля. Указать наименьшее возможное число положительных среди них.
В пространстве $IR3(x,y,z)$ движется точка единичной массы в поле с с потенциалом $V (x,y,z)$ и при наличии связи $z = yx.$ Доказать, что когда скорость параллельна уровню потенциала, ускорение перпендикулярно скорости.
В пространстве $3 IR (x,y,z)$ движется точка единичной массы в поле с с потенциалом $V (x,y,z)$ и при наличии связи $z = yx.$ При каких условиях точка может оставаться в равновесии, несмотря на то, что градиент потенциала не равен нулю?
Ввести псевдоскорости для связи $z = yx$ и написать систему уравнений движения первого порядка.
Доказать, что связь $z = yx$ неголономная.
Твердое тело с центром масс $S,$ находящееся в поле тяжести, катится без проскальзывания по неподвижной горизонтальной плоскости; точка соприкосновения обозначается через $P.$ Написать такое выражение для элементарной работы внешних сил, действующих на тело, в котором отсутствовала бы реакция со стороны плоскости (мы считаем, что она сводится к единственной силе в месте соприкосновения). Написать интеграл энергии. Что изменится, если плоскость заменить на произвольную поверхность?
Однородный шар радиуса $a$ и массы $m,$ с центром масс $S$ и находящийся в поле тяжести, скользит без трения по неподвижной горизонтальной плоскости. Используя декартовы координаты для центра масс и углы Эйлера, выписать пять интегралов движения.
Точка в пространстве движется в таком потенциальном поле, что у нее есть интеграл импульса вдоль оси $x$ и интеграл момента относительно оси $z.$ Это нетеровы интегралы, не правда ли? Можно ли так ввести лагранжевы координаты, чтобы оба названных интеграла стали циклическими? Перечислите все интегралы задачи.
Если повезет, в гамильтониане можно заметить (а) сложное разделение переменных, (б) отделение переменных, (в) циклическую координату и (г) простое разделение переменных.
А. Если здесь некоторое свойство есть частный вариант другого, укажите все такие случаи. Б. Приведите примеры таких натуральных лагранжианов, чтобы гамильтониан обладал ровно одним из названных свойств и не обладал остальными. В. Приведите примеры таких натуральных лагранжианов, чтобы гамильтониану были присущи два из названных свойств.
Можно ли найти такую производящую функцию $S(P, q)$ , что соотвествующее каноническое преобразование приводит гамильтониан $H = S(p, q)$ к виду $H = S(Q, P )$ ?
Возможно ли, чтобы композиция линейных канонических преобразований с производящими фукнциями $S1(P, q)$ и $S2(P, q)$ имела производящую функцию $S1(P, q) + S2(P,q)$ ?
Известно, что все траектории гамильтоновой системы на данном уровне энергии периодичны. Докажите, что период у них один и тот же.

Примечание "ответ обосновать" подразумевается в каждой задаче.