ФОРМУЛЫ И МЫСЛЕННЫЕ ОБРАЗЫ, КОТОРЫЕ НАДО ЗАПОМНИТЬ

1. Дана кривая  в вертикальной плоскости, где  – натуральный параметр (длина дуги). Пусть  – радиус кривизны кривой в нижней точке. Доказать, что частота малых колебаний  .
2. Электрический заряд движется в постоянном электромагнитном поле, то есть   Написать обобщенный потенциал  силы Лоренца.

   Показать, что для поля с  траектория движения есть винтовая линия (вообще говоря), окружность, прямая или точка.

   Описать движение качественно в случае ортогональных   введя подходящую систему координат.

3. ) Доказать, что замена задает канонические полярные координаты; выписать обратное пробразование;
4. Доказать, что линейная замена на плоскости – каноническая тогда и только тогда, когда определитель ее матрицы равен единице. В частности,
   1. ) каноническими являются матрицы обычных поворотов;
   2. ) ... а также матрицы гиперболических поворотов:
5. О линейных канонических системах на :
   1. ) дать решение задачи Коши и нарисовать фазовые портреты систем с в следующих случаях: (эллиптический тип), (промежуточный вырожденный случай), (гиперболический тип); особое внимание обратить на асимптотические решения в последнем случае;
   2. ) собственные числа системы с либо мнимые сопряженные, либо действительные противоположные, либо нулевые – доказать это;
   3. ) доказать, что невырожденную систему линейной канонической заменой можно привести к виду .
   4. ) найти все линейные канонические преобразования, которые сохраняют вид гамильтониана .
6. О системах гиперболического типа: какая линейная замена переменных приводит гамильтониан к виду ? написать и решить соответствующие уравнения Гамильтона.
7. О системах эллиптического типа:
   1. ) какая линейная замена переменных приводит гамильтониан к виду ?
   2. ) убедиться, что после введения канонических полярных координат последний гамильтониан получает вид ; написать общее решение соответствующих уравнений Гамильтона.
8. Ввести переменные "действие-угол" в линейной канонической системе эллиптического типа (двумя способами).
9. Бигармонический осциллятор:

   . Показать, что в фазовом пространстве непустой совместный уровень интегралов есть, вообще говоря, тор как прямое произведение окружностей. Какие иные уровни еще могут получаться?

10. Написать переменные "действие-угол" в предыдущей задаче.
11. Рассматривается плоская задача Кеплера (точка единичной массы движется в поле с потенциалом .
    1. ) Записать гамильтониан в полярных координатах и получить циклический интеграл и интеграл энергии .
    2. ) При каких условиях совместные уровни названных интегралов в фазовом пространстве будет торами?
12. Описать траектории движения на плоскости  с лагранжианом  

    ЗАДАЧИ, ГДЕ НАДО ЗАПОМИНАТЬ ПОДХОДЫ, НО НЕ ОТВЕТЫ

13. ) По прямой движется точка единичной массы под действием силы  например, такой:
    1. )   ;
    2. )   ;
    3. )   ;
    4. )   ;
    5. )   ;
    6. )   ;
    7. )   ;
    8. )   ;
    9. )   ;
    10. )   ;
    11. )   ;
    12. )   ;
    13. )   ;
    14. )   ;
    15. )   

    или какой-нибудь иной многочлен.

    Предлагается выполнить следующее: (I) найти положения равновесия, указать среди них устойчивые, вычислить частоту малых колебаний около каждого устойчивого равновесия; (II) выписать интеграл энергии; (III) нарисовать фазовый портрет задачи; (Iv) если на портрете есть сепаратрисы, то узнать про них следующее: чему равна координата  седловой точки; идет ли сепаратриса в другое седло; чему равны координаты крайней левой или крайней правой точки; каков максимальный модуль скорости  на сепаратрисе.

14. ) На плоскости  дано силовое поле  Например, так:
    1. )   ;
    2. )   ;
    3. )   ;
    4. )   ;
    5. )   ;
    6. )   ;
    7. )   ;
    8. )   ;
    9. )   ;
    10. )   ;
    11. )   ;
    12. )   

    и аналогично далее, лишь бы компоненты были линейными функциями.

    Требуется (I) изобразить это поле, нарисовав силовые линии и (II) если поле обладает потенциалом  выписать этот потенциал.

    Далее, предположим, что точка единичной массы движется, оставаясь на некоторой неподвижной кривой и находясь под действием этого силового поля. В качестве неподвижной кривой могут фигурировать

    1. ) окружность   ;
    2. ) парабола   ;
    3. ) гипербола   

    и что удобно иное.

    Зафиксировав поле и кривую, предлагается выполнить следующее: (III) найти положения равновесия, указать среди них устойчивые, вычислить частоту малых колебаний около каждого устойчивого равновесия; (IV) выписать уравнение движения точки; (V) выписать интеграл энергии (этот интеграл будет иметь место независимо от того, потенциально ли исходное силовое поле - и надо понимать, почему это так); (VI) нарисовать фазовый портрет задачи.

15. Точка подвеса математического маятника колеблется вдоль вертикали по закону  Выписать лагранжиан и уравнение движения. Выписать гамильтониан и систему уравнений движения.
16. Точка массы  движется по оси  будучи зажата между двумя идеальными пружинами (сила натяжения пружины пропорциональна ее длине с коэффициентом жесткости). Концы пружин зафиксированы в точках с координатами  коэффициенты жесткости пружин равны  Написать лагранжиан, уравнение Лагранжа, найти положение равновесия и частоту колебаний.
17. Получить общее решение задачи с  Получить общее решение задачи с . (Это одна и та же задача. ОПЕЧАТКА: здесь перед вторым знаком квадрата должен стоять тангенс). 
18. Однородная палочка скользит концами по вертикальной и горизонтальной прямым; угол  – отклонение ее от вертикали. Рассмотрим движение из начального состояния покоя  . После какого значения  палочка отойдет от вертикальной прямой?
19. Отрезок длиной  скользит концом  по оси  и здесь действует сила вязкого трения  а концом  по оси  и здесь действует постоянная сила  Пусть  – угол между отрезком и осью  Написать выражение для обобщенной силы. Написать уравнение Лагранжа.
20. Твердое тело состоит из однородного диска радиуса  и невесомой штанги длины  перпендикулярной плоскости диска в его центре. Тело катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости так, что конец штанги остается неподвижным на высоте  от плоскости (в сферическом шарнире).
    1. ) Пусть трение качения отсутствует, а реакция опоры лежит в плоскости диска. Показать, что при движении угол поворота штанги  меняется равномерно; вычислить реакцию плоскости.
    2. ) Предположим, что в шарнире действуют силы вязкого трения с моментом  чему равна обобщенная сила  
21. Однородная прямоугольная пластинка массой  длиной  и шириной  может поворачиваться вокруг горизонтальной продольной оси симметрии на угол  относительно плоской невесомой рамки, а эта ось в свою очередь поворачивается (вместе с рамкой) вокруг вертикали на угол  Предположим, что рамка равномерно вращается с угловой скоростью  Найти положения относительного равновесия, исследовать их устойчивость. Найти частоту малых колебаний.
22. В горизонтальной плоскости через начало координат свободно проскальзывает нить длины  На концах нити находятся массы  и  и обе скользят по плоскости (удобные координаты очевидны):
    1. ) описать движения, при которых нить не проскальзывает через начало координат;
    2. ) найти частоту малых колебаний около стационарного движения с циклическими постоянными  
23. В поле силы тяжести однородный обруч радиуса  и массой  поворачивается вокруг своего центра на угол  а внутри него катается другой обруч – радиуса  и массой  причем угол отклонения линии центров от вертикали обозначен  Объяснить, почему эта частота малых колебаний около  не зависит от постоянной циклического интеграла.
24. Эллиптический маятник. Математический маятник массы  и длины  подвешен к точечной массе  скользящей по горизонтальной оси  Выписать интегралы движения. Доказать, что при движении из состояния покоя масса  описывает дугу эллипса.
25. Однородный диск массы  и радиуса  подвешен ("к потолку") в вертикальной плоскости на намотанную на него невесомую и нерастяжимую нить. Обозначим  угол отклонения нити от вертикали вниз,  длину смотавшейся нити. Показать, что уравнения Лагранжа допускают частное решение, при котором нить остается вертикальной.
26. Пусть двойной маятник состоит из двух одинаковых стержней массы  и длины  Получить частоты малых колебаний и векторы осей нормальных координат.
27. Массы  и  движутся по горизонтальной оси, зажатые между тремя одинаковыми пружинами с жесткостью  Концы внешних пружин закреплены. Доказать, что отношение меньшей собственной частоты к большей удовлетворяет неравенству  
28. Положим, например . Вычислить скобку Пуассона  в точке  
29. Из канонических переменных для точки в трехмерном пространстве являются составим векторы и . Обозначим также . СОГЛАШЕНИЕ. Формулы для трехмерного пространства часто выдерживают круговую перестановку символов: . Например, из получается сначала и затем . В таких обстоятельствах мы будем писать так: .
    1. ) (базисные скобки);
    2. ) ;
    3. ) ;
    4. ) ;
    5. ) ;
    6. ) (со всеми предыдущими – фундаментальные скобки);
    7. ) ( – постоянные векторы);
    8. ) ;
30. Положим и . Найти
    1. )
    2. )
    3. )
    4. )
    5. )
31. Положим . Показать, что
    1. )
    2. )
32. Описать фазовые потоки c гамильтонианами . Все это – линейные системы. В каких сразу разделяются переменные?
33. Пусть точка единичной массы движется по цилиндру под действием упругого притяжения к началу координат: . Перейти к цилиндрической системе координат и доказать (наглядно), что непустые совместные уровни интералов энергии и циклического в фазовом пространстве

    являются, вообще говоря, двумерными торами.

34. Угадать переменные "действие-угол" в предыдущей задаче.
35. Рассмотрим задачу с гамильтонианом :
    1. ) решить ее как линейную;
    2. ) решить, усмотрев отделение переменных.
36. В нижеследующих задачах (даются гамильтонианы) выписать первые интегралы, увидев отделение переменных, простое разделение или комбинацию этих идей.
    1. ) ;
    2. ) ;
    3. ) ;
    4. ) ;
    5. ) .
37. В нижеследующих задачах даны лагранжианы. Требуется получить гамильтонианы и затем указать путь полного интегрирования:
    1. ) ;
    2. ) ;
    3. ) ;
    4. ) ;
    5. ) ;
    6. ) ;
38. Вводятся новые канонические переменные линейными формулами

    Доказать, что

    1. ) первообразная ;
    2. ) производящая
39. Вводятся канонические полярные координаты (3). Показать, что
    1. ) первообразная
    2. ) производящая
40. Задают ли смешанные формулы , каноническое преобразование?
41. Для следующих преобразований найти производящую функцию :
    1. )
    2. )   (
    3. )   ( );
    4. )
    5. )
    6. )   (
    7. )

42. Для точки единичной массы, движущейся по параболе   ,  вычислить поправку к частоте малых колебаний, считая малой энергию колебаний.

  ЛИТЕРАТУРА:
Н.Г.Четаев. Устойчивость движения
Ф.Р.Гантмахер. Лекции по аналитической механике
А.П.Маркеев. Теоретическая механика
Я.В.Татаринов. Лекции по классической динамике