КУРСИВОМ ВЫДЕЛЕНЫ ЗАДАЧИ, КОТОРЫЕ МОГЛИ БЫ ПОДОЙТИ ВЕСНОЙ 2007 ГОДА

08.01 (весь поток, разбитый на две части)

ЭКЗАМЕН в 10.00
1. Найти все значения параметра , при которых уравнения

являются уравнениями малых колебаний некоторой механической системы.

2. К пластинке, скользящей по плоскости, прикреплены не одно, а два непараллельных лезвия. Обозначим угол поворота тела и выразим элементарную работу приложенных сил (любых) в виде – требуется объяснить, какой смысл имеет величина .

3. Рассматривается электрон единичного заряда и единичной массы при единичной скорости света под действием силы Лоренца, если напряженность электрического поля и индукция магнитного поля единичны и составляют единичный угол. а начальная скорость им перпендикулярна и единичная. Найти (как функцию времени) скорость движения с заданным начальным условием. Совет: ось направить по , а ось по .

4. Материальная точка движется в трехмерном пространстве, потенциальная энергия обратно пропорциональна квадрату расстояния до начала координат. Следуя аналогии с теоремой Нетер, сформулировать и доказать теорему об изменении момента относительно векторного поля, порождающего группу растяжений в раз.

ЭКЗАМЕН в 14.00

1. Вычислить энергию ускорения через , где – псевдоскорости в плоском движении точки, если применяется подвижный репер полярной системы координат.

2. Точки, образующие правильный 2001-угольник со стороной d, движутся в плоскости; каждая из них притягивается к началу координат идеальной упругой пружиной одной и той же жесткости ; пусть – координаты центра многоугольника, – угол его поворота. Написать элементарную работу заданных сил в этих обобщенных координатах.

3. Рассматриваются малые колебания с двумя степенями свободы. У системы есть периодическое решение с нулевой начальной скоростью, не проходящее через начало координат. Что можно сказать об отношении собственных частот?

4. В углах Эйлера даны начальные условия для волчка Лагранжа:

Выписать интегралы движения с учетом заданных начальных условий.

26.01 (пересдача)

ЭКЗАМЕН в 10.00

1. Найти все значения параметра , при которых уравнения

равносильны уравнениями малых колебаний, причем являются нормальными координатами.

2. К пластинке, скользящей по плоскости, прикреплены не одно, а два лезвия. А. Перечислить все случаи такого их взаимного расположения, когда получается неголономная система. Б. Описать ее движение при отсутствии внешних сил.

3. Рассматривается электрон единичного заряда и единичной массы при единичной скорости света под действием силы Лоренца, если напряженность электрического поля и индукция магнитного поля единичны и составляют единичный угол. а начальная скорость им перпендикулярна и единичная. А. Написать лагранжиан. Б. Выписать интеграл Якоби. В. Есть ли в этой задаче интегралы, линейные по скоростям?

4. Материальная точка движется в плоскости; потенциальная энергия силы притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния до начала координат. Применим полярную систему координат и понизим порядок по Раусу. Возможны ли устойчивые равновесия в приведенной системе?

ЭКЗАМЕН  в 14.00

1. Плоское движение точки рассматривается в переменных , где – псевдоскорости в плоском движении точки, если применяется подвижный репер полярной системы координат. Написать элементарную работу для силы, направленной вдоль оси .

2. Точки, закрепленные в концах отрезка длины d, движутся в плоскости, испытывая вязкое трение с одним и тем же коэффициентном c. Выразить диссипативную функцию через скорость центра отрезка и угловую скорость этого тела.

3. Рассматриваются малые колебания с двумя степенями свободы. У системы есть периодическое решение с нулевой начальной скоростью, проходящее через начало координат и не являющееся нормальным колебанием. При каких натуральных отношение собственных частот не может быть равно ?

4. В углах Эйлера даны начальные условия для волчка Лагранжа:

Указать, при каких значениях параметров последующее движение оси симметрии будет наподобие циклоиды (с точками возврата).