Разработана методическим семинаром
кафедры теоретической механики
и утверждена на заседании кафедры 02.06.2000

I. А н а л и т и ч е с к а я   м е х а н и к а.   О б щ и е  в о п р о с ы.

1. Понятие связи в аналитической механике; классификация связей (связи геометрические и кинематические, стационарные и нестационарные, голономные и неголономные). Виртуальные и действительные перемещения. Принцип освобождаемости от связей и гипотеза идеальных связей. Примеры. Принцип Даламбера-Лагранжа для систем с идеальными связями. Общие теоремы динамики как следствия этого принципа. Примеры.
2. Обобщенные (лагранжевы) координаты системы. Обобщенные силы. Уравнения Лагранжа второго рода для голономных систем, как следствие принципа Даламбера-Лагранжа. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно вторых производных по времени от обобщенных координат. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил, функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа с множителями для неголономных систем. Примеры.
3. Циклические координаты и соответствующие им первые интегралы (интегралы импульса и кинетического момента, как пример циклических интегралов). Интеграл энергии и обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби). Метод Рауса игнорирования циклических координат. Уравнения Рауса. Примеры. Однопараметрические группы симметрий и теорема Нетер. Примеры.
4. Принцип Гамильтона. Принцип Якоби. Траектории склерономной консервативной механической системы как геодезические.
5. Гироскопические и диссипативные силы. Обобщенный потенциал. Структура обобщенно-потенциальных сил. Диссипативная функция Релея. Примеры. Положения равновесия и стационарные движения голономных систем. Примеры. Понятие устойчивости по Ляпунову движения механической системы. Теорема Ляпунова об устойчивости движения (для автономных систем). Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия и теорема Рауса об устойчивости стационарного движения. Примеры.
6. Линеаризация уравнений Лагранжа в малой окрестности положения равновесия. Уравнения для собственных частот и собственных векторов (собственных форм). Вид общего решения линеаризованной системы. Нормальные (главные) координаты системы. Примеры.
7. Плоская ограниченная круговая задача трех тел. Точки либрации и их устойчивость. Области Хилла.
8. Движение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Случай Лагранжа-Пуассона. Качественное исследование движения. Спящий волчок. Псевдорегулярная прецессия. Элементарная теория гироскопа.
9. Движение твердого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле. Главный вектор сил тяготения. Гравитационный момент. Уравнения движения тела относительно центра масс. Положения относительного равновесия тела на круговой орбите и их устойчивость.
10. Элементы теории удара.
11. Преобразование Лежандра и его свойства. Функция Гамильтона. Нахождение функции Гамильтона натуральной системы. Система уравнений Гамильтона. Первые интегралы гамильтоновых систем. Понижение порядка гамильтоновой системы с помощью циклических интегралов. Примеры.
12. Канонические преобразования. Групповые свойств канонических преобразований. Производящая функция и ее различные формы. Сохранении канонической формы уравнений при канонических преобразованиях. Критерии каноничности замены переменных. Сохранение и преобразование функции Гамильтона каноническом преобразовании. Примеры.
13. Уравнение Гамильтона-Якоби. Теорема Якоби об интегрировании канонических уравнений. Отделение переменных (метод Имшенецкого). Простейшие случаи разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Системы Лиувилля. Примеры. Динамические системы с гладкой инвариантной мерой. Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Теорема о последнем множителе Якоби.
14. Теорема Пуанкаре о возвращении. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана.
15. Скобка Пуассона двух функций и ее свойства. Теорема Якоби-Пуассона о первых интегралах. Интегралы в инволюции. Примеры таких интегралов. Теорема Лиувилля о полной интегрируемости. Переменные действие-угол.

    II. А н а л и т и ч е с к а я   м е х а н и к а.   С п е ц и а л ь н ы е   в о п р о с ы. 

16. Уравнения Лагранжа в относительном движении.                
17. Экстремальные свойства частот и их геометрическая интерпретация. Зависимость частот от жесткостных и инерционных параметров задачи. Изменение частот при наложении дополнительных связей.   
18. Влияние диссипативных и гироскопических сил на устойчивость равновесия.                                                  
19. Линеаризация уравнений движения в окрестности стационарного движения.
20.   Оценка разности решений исходных уравнений Лагранжа и уравнений малых колебаний.
21.   Калибровка лагранжиана.
22.   Определение реакций связей с помощью уравнений Лагранжа второго рода.
23.   Аналитические условия интегрируемости системы дифференциальных связей.
24.   Геометрические условия неинтегрируемости системы дифференциальных связей.
25.   Явный вид уравнений Лагранжа для натуральных систем. Коэффициенты связности в римановой метрике на многообразии положений.
26.   Движение тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Случай Ковалевской. Первые интегралы.
27.   Операторное представление уравнений Гамильтона. Гамильтоновы векторные поля и условия их коммутируемости.
28.   Уравнения Уиттекера. Обобщенный интеграл энергии как циклический интеграл.
29.   Симплектические многообразия. Инвариантная форма уравнений Гамильтона. Связь симплектической структуры и скобки Пуассона. Критерий каноничности преобразования в терминах симплектической структуры.
30.   Применение канонических преобразований в теории возмущений. Малые знаменатели.
31.   Отображение последования Пуанкаре и его каноничность. Периодические решения. Матрица монодромии. Мультипликаторы. Орбитальная устойчивость.
32.   Теорема о фазовых торах. Теорема о существовании переменных действие-угол.
33.   Уравнения Якоби.
34.   Производящая функция линейной замены при блочном представлении матрицы.
35.   Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных. Уравнения в вариациях.
36.   Принцип Гаусса. Квазикоординаты. Операция дифференцирования по квазикоординатам. Уравнения Аппеля.
37.   Системы Чаплыгина. Множитель Чаплыгина.

    III. Р е к о м е н д у е м ы е   п р и м е р ы

38.   Двойной математический маятник.
39.   Сила Лоренца, лагранжиан движения в магнитном поле; описание движения в постоянном поле. Закручивание траекторий при добавлении магнитного поля.
40.   Задача о движении электрона по сфере в поле магнитного заряда и постоянном электрическом поле как приведенная система для волчка Лагранжа.
41.   Интегрирование гармонического осциллятора методом Гамильтона-Якоби.
42.   Интегрирование задачи Кеплера методом Гамильтона-Якоби.
43.   Устойчивость стационарных движений. Бифуркации положений относительного равновесия (на примерах).
44.   Задача о центре удара. Задача о соударениях биллиардных шаров.
45.   Задача о брахистохроне.
46.   Фазовые торы в конкретных задачах.
47.   Маятник с вибрирующей точкой подвеса.
48.   Сани Чаплыгина (конек). Описание движения в простейших случаях.

             НАЗАД   НАЗАД   НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД   НАЗАД