(чисто словесные обороты, данные ниже, не заменяют аккуратного изложения с формулами, они призваны лишь ориентировать читателя при освоении материала)
- В качестве первоначального определения движений берется принцип наименьшего принуждения Гаусса, тогда как принцип Д'Аламбера-Лагранжа возникает как эквивалентный принципу Гаусса.
- Считается безразличным, как задавать связи: в виде уравнений или в форме явного введения обобщенных координат и псевдоскоростей. Эти два подхода локально равносильны по теореме о неявной функции. Профессиональный механик не мыслит в рамках только того определения, которое фигурирует во всех учебниках; он сразу применяет тот подход, который удобнее в данной ему задаче.
- Кинематические связи и псевдоскорости пишутся в общем виде, таком, что выражения могут быть нелинейными по скоростям - так получается короче. Вместе с тем для большинства задач все выражения не содержат времени, линейны и однородны - это трактуется как использование подвижного репера на многообразии положений.
- Входящее в формулировку принципа Д'Аламбера-Лагранжа основное уравнение динамики подается так: в левой части стоит дифференциальная форма специального вида, которая равна нулю вдоль движений при подстановке в нее виртуальных перемещений, свойственных системе в получающемся состоянии. Левая часть основного уравнения состоит из двух слагаемых: одно есть элементарная работа заданных сил, другое - вариация Эйлера-Лагранжа первоначальной кинетической энергии.
- К используемым в лагранжевой динамике дифференциальным формам [в них возникают только вариации координат] надо просто привыкнуть и научиться с ними работать; чтобы способствовать этому, используется расширенная трактовка вариации функции (не фигурирующая в учебниках, но и не противоречащая им). Можно брать функцию времени, лагранжевых координат, скоростей, ускорений и так далее - скоростей любых порядков. Коэффициентами вариации (при вариациях координат) являются производные функции по скоростям самого старшего порядка, упоминаемого в ее выражении. Вариация не изменяется после взятия полной производной функции по времени.
- Подчеркивается ковариантность уравнений Лагранжа и частных случаев элементарной работы (для потенциальных, обобщенно-потециальных и диссипативных сил); главное в том, что при заменах координат достаточно преобразовывать лишь ту функцию, ктороя порождает тот или иной из перечисленных объектов. Это следствие того, что ковариантны (коммутируют с подстановками) операции полной производной по времени, обычной вариации и вариации Эйлера-Лагранжа.
- Считается обязательным для профессионала хорошо знать две итоговые формулы для твердого тела: выражение энергии ускорений в главном центральном репере и выражение элементарной работы: с помощью главного вектора и главного момента заданных сил относительно отмеченной точки; вариация положения (скорости) этой точки и вариация угловой скорости, фигурирующие в последней формуле, понимаются в расширенном смысле, о котором шла речь выше.
- Общие теоремы динамики выводятся из принципа Д'Аламбера-Лагранжа обычным образом: если ко множеству виртуальных перемещений принадлежит вектор (многомерный) специального вида, то его надо подставить в общее уравнение динамики и преобразовать полученное выражение. Однако на первое место ставится теорема об изменении кинетической энергии (в частности, вывод интеграла Якоби), и лишь потом выводятся теоремы об изменении импульса, кинетического момента и их обобщения. Дело в том, что если связи не содержат времени, линейны и однородны по скоростям (тогда заведомо применима как раз теорема об изменении кинетической энергии), то множества виртуальных перемещений и действительных перемещений совпадают - и становится интуитивно легче проверять условия применимости остальных теорем: надо просто найти допустимое распределение скоростей специального вида.
- Теоремы об изменении импульса и кинетического момента излагаются с привязкой к общему языку теоремы Нетер: если на многообразии положений действует однопараметрическая группа, сохраняющая кинетическую энергию, то производная от момента обобщенных импульсов относительно порождающего группу векторного поля равна моменту обобщенных сил относительно того же поля.
- Уравнения первого приближения получаются путем искусственного введения малого параметра, причем для любых автономных лагранжевых систем. Из стандартной теоремы об оценках для систем дифференциальных уравнений заключается, что уравнения первого приближения дают достаточно малую погрешность лишь на заранее заданном постоянном интервале времени.
- Обращается внимание на то, что в лагранжиане могут фигурировать слагаемые, линейные по скоростям. Правда, для очень широкого класса систем - стационарные голономные связи плюс независящий от времени потенциал сил - они поначалу отсутствуют, однако могут появиться в функции Рауса после понижения порядка. Линейные члены возникают сразу в исходном лагранжиане либо если применяется движущаяся система координат (как в ограниченной задаче трех тел), либо если исследуется движение под действием электромагнитных сил (пример - сила Лоренца в электромагнитном поле для пробного заряда). Линейные члены приводят к своеобразной закрутке траекторий движения, однако не отражаются в интеграле Якоби.
- Обобщенная потенциальность силы Лоренца связывается с тем, что электромагнитное поле подчиняется уравнениям Максвелла.
НАЗАД НАЗАД НАЗАД НАЗАД НАЗАД НАЗАД НАЗАД НАЗАД
