ОБРАЗЦЫ ВОПРОСОВ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

1. ³ Всегда ли положительно определена кинетическая энергия точки, выраженная в полярных координатах? Обобщить наблюдение и дать общий комментарий относительно систем со связями.
2. ⁴ Дано уравнение с
   

   L = (1+q.2)1/2/q,  q > 0.

   Доказать, что решения на плоскости t,q имеет вид полуокружностей c центром на оси t.

3. ⁴ Предложить лагранжиан, порождающий линейное дифференциальное уравнение (или ему равносильное)
   

   a(t)q.. + b(t)q. + с(t)q = 0 ,   a(t) > 0

4. ⁵ Пусть H(q^.,q) - первый интеграл автономного уравнения Лагранжа. Найти лагражиан L(q^.,q), порождающий это уравнение.
5. ³ Какие варианты общего решения уравнения первого приближения могут получаться, если брать произвольные лагранжианы L(q^.,q),  dimq = 1?
   [Считаем, что положение равновесия при q = 0.]
6. ³ Могут ли силы, линейно зависящие от скоростей, быть одновременно обобщенно-потенциальными и диссипативными?
7. ⁴ Дан невырожденный лагранжиан. Какая функция порождает те же уравнения движения по схеме уравнений Аппеля?
8. ⁴ Пусть векторный потенциал равен A = (0,kx²/2,0). Какое получается поле? Описать качественно движение в проекции на плоскость Oxy.
9. ⁵ Электрическое поле равномерно заряженного бесконечного кругового цилиндра имеет в цилиндрической системе координат потенциал V = lr²/2. Добавим постоянное магнитное поле с направлением вдоль оси цилиндра. Написать лагранжиан и описать движения качественно.
10. ³ Написать лагранжиан для вращения шара вокруг центра (в углах Эйлера). Выписать первые интегралы движения - и с помощью лагранжева формализма, и с помощью общих теорем динамики.
11. ³ Получить уравнения Аппеля для саней Чаплыгина на наклонной плоскости и при наличии вязкого трения в точке контакта.
12. ³ Доказать, что задача о качении диска по плоскости неголономная.
13. ³ Написать лагранжиан задачи о плоском движении точки по инерции, применяя равномерно вращающуюся систему координат. Выписать уравнения Лагранжа и их общее решение.
14. ⁴ В той же задаче получить интеграл Якоби и интеграл полной энергии и объяснить, как это они могут существовать одновременно.
15. ⁴ Принципу д'Аламбера-Лагранжа равносилен принцип Журдена, в котором вместо виртуальных перемещений dr_n написаны виртуальные скорости dv_n € Додумайте и сформулируйте аккуратно принцип Журдена. Если припомнить принцип Гаусса, то какой смысл можно придать виртуальным скоростям в случае линейных кинематических связей?
16. ⁴ Какие интегралы могут получаться по теореме Нетер у лагранжиана вида
    

    L = q1.3+q2.3+f(q1,q2)?

17. ³ Сформулировать и вывести из принципа д'Аламбера-Лагранжа теорему об изменении кинетического момента относительно оси неизменного направления, проходящей через движущуюся точку.
18. [эта тема перенесена на следующий семестр]     Сфомулировать и доказать теорему об изменении кинетического момента в осях Кенига при ударных воздействиях. 

   ЛИТЕРАТУРА:
Ф.Р.Гантмахер. Лекции по аналитической механике.
А.П.Маркеев. Теоретическая механика.
Я.В.Татаринов. Лекции по классической динамике.

             НАЗАД   НАЗАД   НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД   НАЗАД