ОБРАЗЦЫ ЗАДАНИЙ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

1. Точка подвеса математического маятника колеблется вдоль горизонтали по закону s(t). Выписать лагранжиан и уравнение движения.
2. Точка массы m движется по оси x, будучи зажата между двумя идеальными пружинами (сила натяжения пружины пропорциональна ее длине с коэффициентом жесткости). Концы пружин зафиксированы в точках с координатами -d,+d. Коэффициенты жесткости пружин равны k₁,k₂. Написать лагранжиан, уравнение Лагранжа, найти положение равновесия и частоту колебаний.
3. Дана кривая r = r(s) в вертикальной плоскости, где s - натуральный параметр (длина дуги). Пусть r - радиус кривизны кривой в нижней точке. Найти частоту малых колебаний.
4. Получить общее решение задачи с 2L = q^.2-tg²q.
5. Однородный обруч радиуса a подвешен ко гладкой стене за нить длиной l и может проскальзывать вдоль нее без трения. Обозначим a отклонение нити от вертикали. Найти частотy малых колебаний около равновесия.
6. Однородная палочка скользит концами по вертикальной и горизонтальной прямым; угол j - отклонение ее от вертикали. Рассмотрим движение из начального состояния покоя j₀. После какого значения j палочка отойдет от вертикальной прямой?
7. Отрезок длиной l скользит концом A по оси x и здесь действует сила вязкого трения -cv_A, а концом B по оси y и здесь действует постоянная сила Fe_y. Пусть j - угол между отрезком и осью y. Написать выражение для обобщенной силы. Написать уравнение Лагранжа.
8. Дана катушка радиуса a со внутренним цилиндром радиуса b, на который намотана нерастяжимая нить. Масса катушки M, осевой момент инерции I = Md²; она без проскальзывания катится по горизонтальной оси x. Дано также, что катушку тянут за нить с силой F вправо под углом a к оси x, что в точке касания имеется вязкое трение качения с коэффициентом C. Каковы здесь потенциал и диссипативная функция? Написать уравнение Лагранжа.
9. Твердое тело состоит из однородного диска радиуса r и невесомой штанги длины l, перпендикулярной плоскости диска в его центре. Тело катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости так, что конец штанги остается неподвижным на высоте h = r = ltga от плоскости (в сферическом шарнире).
   1. Пусть трение качения отсутствует, а реакция опоры лежит в плоскости диска. Показать, что при движении угол поворота штанги y меняется равномерно; вычислить реакцию плоскости.
   2. Предположим, что в шарнире действуют силы вязкого трения с главным моментом M = -Сw; чему равна обобщенная сила Q_y?
10. Однородная прямоугольная пластинка массой m, длиной 2b и шириной 2a может поворачиваться вокруг горизонтальной продольной оси симметрии на угол q относительно плоской невесомой рамки, а эта ось в свою очередь поворачивается (вместе с рамкой) вокруг вертикали на угол y. Предположим, что рамка равномерно вращается с угловой скоростью y^. = W. Найти положения относительного равновесия, исследовать их устойчивость. Найти частоту малых колебаний.
11. Рамка в форме окружности может поворачиваться на угол y вокруг своего диаметра, расположенного вертикально (для определенности). В рамке вокруг другого ее диаметра, составляющего с вертикалью постоянный угол 0 < a < p/2, может вращаться однородный диск (угол поворота j), причем диск перпендикулярен оси вращения, а центр диска находится в центре окружности-рамки. Считаем, что y^.,j^. поначалу положительны, а вдоль второй оси вращения действует момент сил вязкого трения M_q = -Сj^.. Определить, как величина y^. ведет себя со временем (убывает или возрастает?).
12. В горизонтальной плоскости через начало координат свободно проскальзывает нить длины l. На концах нити находятся массы m₁ и m₂, и обе скользят по плоскости (удобные координаты очевидны):
    1. описать движения, при которых нить не проскальзывает через начало координат;
    2. найти частоту малых колебаний около стационарного движения с циклическими постоянными c₁,c₂.
13. В поле силы тяжести однородный обруч радиуса R и массой M поворачивается вокруг своего центра на угол y, а внутри него катается другой обруч - радиуса r и массой m, причем угол отклонения линии центров от вертикали обозначен q. Объяснить, почему эта частота малых колебаний около q = 0 не зависит от постоянной циклического интеграла.
14. Эллиптический маятник. Математический маятник массы m и длины l подвешен к точечной массе M, скользящей по горизонтальной оси x. Выписать интегралы движения. Доказать, что при движении из состояния покоя масса m описывает дугу эллипса.
15. Однородный диск массы M и радиуса a подвешен ("к потолку") в вертикальной плоскости на намотанную на него невесомую и нерастяжимую нить. Обозначим a угол отклонения нити от вертикали вниз, s длину смотавшейся нити. Показать, что уравнения Лагранжа допускают частное решение, при котором нить остается вертикальной.
16. Описать траектории движения на плоскости x,y с лагранжианом
    

    L = x.2+ y.2+x y.-y x.-x2.

17. Пусть двойной маятник состоит из двух одинаковых стержней массы m и длины l. Получить частоты малых колебаний и векторы осей нормальных координат.
18. Массы m₁ и m₂ движутся по горизонтальной оси, зажатые между тремя одинаковыми пружинами с жесткостью k. Концы внешних пружин закреплены. Доказать, что отношение меньшей собственной частоты к большей лежит в полуинтервале (0,1/3^1/2].
19. В неподвижной вертикальной окружности радиуса r+a катаетcя обруч массы М и радиуса a, по которому, в свою очередь, катается палочка длины 2l. Положение равновесия - когда обруч находится внизу, а палочка лежит на нем горизонтально. При каком условии это равновесие устойчиво?
20. Электрический заряд движется в постоянном электромагнитном поле, то есть
    

    E = const  ,  B = const  .

    Написать обобщенный потенциал W силы Лоренца.

    Показать, что для поля с E = 0 траектория движения есть винтовая линия (вообще говоря), окружность, прямая или точка.

    Описать движение качественно в случае ортогональных E,B (введя подходящую систему координат).

   ЛИТЕРАТУРА:
Ф.Р.Гантмахер. Лекции по аналитической механике.
А.П.Маркеев. Теоретическая механика.
Я.В.Татаринов. Лекции по классической динамике.

             НАЗАД   НАЗАД   НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД  НАЗАД   НАЗАД