Итоговая программа второго семестра

(зачеркнуто еще не прочитанное к 1 сентября,
выделены вопросы, которые выносятся на коллоквиум -
но не следует думать, что об остальных можно не иметь никакого представления)

1. Пересчет компонент вектора и координат точки при замене репера с участием матрицы перехода. Угловая скорость твердого тела.
2. Углы Эйлера. Матрица перехода. Выражение угловой скорости, линейное по скоростям. Кинематические формулы Эйлера.
3. Связь абсолютной и относительной производных вектора. Сложное движение точки. Формула сложения скоростей. Формула сложения ускорений.
4. Формула Эйлера для поля скоростей.  Формула Ривальса для поля ускорений. Формула сложения угловых скоростей.
5. Поступательное, вращательное (вокруг неподвижной оси) и плоскопараллельное движения тела. Мгновенный центр скоростей и центроиды. Твердое тело с неподвижной точкой. Мгновенная ось вращения и аксоиды. Свободное твердое тело. Мгновенная винтовая ось и аксоиды как линейчатые поверхности. Поведение аксоидов при движении.
6. Формулы Кенига для динамических функций системы точек.
7. Импульс, кинетический момент и кинетическая энергия твердого тела. Главные оси и моменты инерции. Осевые и центробежные моменты инерции твердого тела. Тензор инерции. Эллипсоид инерции.
8. Теоремы об изменении импульса, кинетического момента и кинетической энергии в абсолютном движении и относительно осей Кенига. Законы сохранения.
9. Уравнения движения твердого тела. Понятие эквивалентности систем сил, действующих на твердое тело. Приведение системы сил к точке. Приведение сил тяжести к центру масс тела.
10. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. Определение реакций. Физический маятник. Приведенная длина и центр качания. Теорема Гюйгенса.
11. Твердое тело с неподвижной точкой. Уравнения Эйлера-Пуассона и их первые интегралы. Волчок Эйлера. Геометрическая интерпретация Пуансо. Фазовый портрет. Перманентные вращения. Регулярная прецессия. Гироскопический эффект.
12. Сани Чаплыгина (конек). Описание движения в простейших случаях.
13. Движение твердого тела по поверхности. Модели идеально гладкой и идеально шероховатой поверхностей. Движение однородного шара по шероховатой плоскости. Модель сухого трения скольжения. Движение однородного шара по плоскости с сухим трением.
14. Лагранжева форма уравнений движения для свободной точки. Уравнения Лагранжа в относительном движении: силы инерции и порождающий их лагранжиан.
15. Два равносильных способа задавать геометрические (голономные) связи. Обобщенные (лагранжевы) координаты системы.
16. Уравнения Лагранжа для систем с геометрическими связями и потенциальными силами (временно без обоснования). Корректность (равносильность при заменах переменных) лагранжевой формы уравнений движения.
17. Явный вид уравнений Лагранжа для натуральной (обратимой) системы. Разрешимость уравнений Лагранжа относительно вторых производных по времени от обобщенных координат.
18. Интеграл энергии. Циклические координаты и соответствующие им первые интегралы (интегралы импульса и кинетического момента, как пример циклических интегралов).
19. Приведенная система и ее фазовый портрет в случае только одной нециклической координаты. Использование интегралов в случае, когда их число равно числу степеней свободы (интегрирование "в квадратурах").
20. Сферический маятник и волчок Лагранжа. Качественное исследование движения. Спящий волчок. Псевдорегулярная прецессия.
21. Обобщенный потенциал: он линеен по скоростям. Структура обобщенно-потенциальных сил. Калибровка лагранжиана. Обобщенный интеграл энергии (интеграл Якоби).
22. Уравнения Максвелла и обобщенный потенциал для силы Лоренца. Задача о движении электрона по сфере в поле магнитного заряда и постоянном электрическом поле как приведенная система для волчка Лагранжа.
23. Линеаризация автономных систем. Устойчивость и неустойчивость линеаризованных систем. Линеаризация уравнений Лагранжа в малой окрестности положения равновесия: характеристические уравнения и собственные векторы.
24. Нормальные (главные) координаты натуральной системы; невырождениые минимумы, седла и максимумы потенциальной энергии - соответствующий вид общего решения линеаризованной системы и качественная картина траекторий движения.
25. Явление гироскопической стабилизации в необратимых системах.
26. Простейшие идеи теории возмущений, уравнения в вариациях, приближенные вычисления. Искусственное введение малого параметра. Оценки точности первого приближения.
27. Отображение Пуанкаре и явление автоколебаний в нелинейных системах. Бифуркация Андронова-Хопфа
28. Постановка задачи N тел и условие ограниченности движений в задаче трех тел.
29. Плоская ограниченная круговая задача трех тел. Точки либрации и их устойчивость. Области Хилла.
30. Гравитационный потенциал твердого тела и его частные варианты.
31. Постановка задачи "тело-точка". Главный вектор сил тяготения. Гравитационный момент. Взаимозависимость движения тела относительно центра масс и орбитального движения. Ограниченные постановки задач. Вращение твердого тела на круговой орбите, положения относительного равновесия тела и их устойчивость.
32. Система уравнений Гамильтона. Функция Гамильтона натуральной системы. Простейшие первые интегралы гамильтоновых систем. Линеаризация натуральной гамильтоновой системы. Понижение порядка гамильтоновой системы с помощью циклических интегралов. Гамильтонинан с линейными по импульсам слагаемыми.